淺談電磁場理論中梯度、散度和旋度的教學

吳微微 徐延林 何 艷

國防科技大學電子科學學院 湖南長沙 410073

一、概述

麥克斯韋以一種近乎完美的方式統一了電和磁,形成一門獨立的學科——電磁學。同時,預言了電磁波的存在,這是物理學家在統一之路上的巨大進步。若從微觀角度探究電磁場的特性,需將宏觀中的有向曲線、有向曲面以及由封閉曲面圍成的體積無限縮小至趨于零的程度,用電磁場的散度和旋度等物理量代替宏觀中的通量、環量等物理量進行研究。標量場的梯度、矢量場的散度及其旋度的計算離不開符號簡化史上一個奇跡——哈密頓算子(?算子)。教學實施過程中發現,當從宏觀角度轉向微觀角度探究電磁場特性時,學生們理解起來有不小的難度。例如,在電磁場理論中,如何理解自帶方向的哈密頓算子的物理意義?除了用于計算,梯度、散度和旋度的物理意義是什么?本文將通過三個模型,詳細闡釋哈密頓算子、梯度、散度和旋度的物理意義,便于學生掌握微分形式麥克斯韋方程組的核心內容。

二、哈密頓算子的解讀

為了簡化電磁場理論中的運算,英國數學家、物理學家和力學家威廉·羅恩·哈密頓引出了倒三角符號?,因此得名哈密頓算子,它是場論分析中不可或缺的工具。它是一個同時具有矢量和微分雙重特性的矢量算子,主要研究場量在空間中的變化。要理解哈密頓算子,需要從描述函數f變化快慢的概念——導數說起。當函數f的變化與時間有關,則記為f(t)。描述該函數增量與自變量—時間增量之間比值的函數為g(t)=Δf(t)/Δt。例如,當f(t)為距離時,則g(t)為速度;當f(t)為速度時,g(t)為加速度。當f(t)為一條隨時間變化的曲線時,f(t)的增量Δf(t)與其微分df(t)之間的關系如圖1所示。

圖1中,時間軸上的增量為Δt,其微分為dt,兩者大小相等。增量Δy表示時間上增加Δt時函數f(t)的增量,它是函數f(t)的實際變化量Δf(t)=Δy。當在P點做一條切線,以直線代替曲線,則當時間軸上變化了Δt,直線上對應

圖1 函數f(t)的增量Δy與微分dy的關系

的變化即為微分df(t)=dy,微分dy為增量Δy的線性主部。這種“以直(dy)代曲Δy”是現代微積分的一個核心思想,利用P點處的導數dy/dt就可以表示該點處函數隨時間變化的快慢。若想研究該函數f(t)在空間中某一點上隨空間變化的快慢,需首先選擇一個坐標系并進行研究。為簡單起見,本文選擇直角坐標系進行研究,詮釋哈密頓算子的物理意義。將函數f(t)的自變量由時間變量t改為直角坐標系中任意一個軸向,如x軸,則導數dy/dx研究的是函數y=f(x)在空間中沿x軸方向的變化率。若想同時研究P(x0,y0,z0)點處,函數f(x,y,z)沿三個坐標軸方向的空間變化率,則需利用偏導數分別研究各個方向上的空間變化率。首先,固定該點在y軸和z軸上的位置y=y0和z=z0,研究函數f(x,y0,z0)沿x軸方向的變化率:

(1)

同理,可得到沿另外兩個方向的變化率。若想同時表示空間P(x0,y0,z0)點在三個坐標軸方向上的空間變化率,則需將三個方向上的變化率分別用相對應的單位矢量進行標記后相加即可。

但由于將三個方向上的變化率用類似公式(1)的方式表示出來時,雖然概念清晰,但十分冗長。于是,哈密頓提出一種矢量算子簡化上述表示式,得到如下簡潔形式:

(2)

綜上所述,哈密頓算子的物理意義是研究一個空間分布函數f(x,y,z),沿三個坐標軸方向各自的空間變化率。

三、梯度模型

在電磁場理論中,標量場的梯度和矢量場的散度及旋度的物理意義一直是教學的重點和難點。基于上一小節闡釋哈密頓算子物理意義的過程,用于研究標量場的梯度的物理意義躍然紙上。設標量場函數f(x,y)的空間自變量為x和y,如圖2所示。在空間位置點P(x0,y0)處的梯度表明了該函數f(x,y)在此點處沿x和y方向增加率最快最大的方向,由圖2中箭頭所示。圖3為函數f(x,y)投影到xoy平面上的情況。

圖2 標量場的梯度

圖3 標量場及其梯度的二維投影

四、散度模型

(3)

若梯度研究一個標量場在空間某一點的變化,散度則研究一個具有不同極化方向的矢量場在空間某一點的變化,但矢量場的每一個分量實則為一個標量場。比如,Ex(x,y,z)、Ey(x,y,z)和Ez(x,y,z)均是標量場。這里的物理概念學生容易混淆,容易把場量的下角標表示的極化方向和括號里表示空間分布的自變量發生混淆。這是一個教學重點和難點,需要結合物理模型進行闡釋、強調和區分。

(4)

圖4 研究散度的流速場模型

圖5 流速場的源在封閉曲面外部

圖6 流速場的源在封閉曲面內部

=-vx(x,y,z)ΔyΔz

(5)

=vx(x,y,z)ΔyΔz

(6)

ψ總=ψ左+ψ右+ψ前+ψ后+ψ下+ψ上

=-vx(x,y,z)ΔyΔz+vx(x,y,z)ΔyΔz

-vy(x,y,z)ΔxΔz+vy(x,y,z)ΔxΔz

-vz(x,y,z)ΔxΔy+vz(x,y,z)ΔxΔy

=0

(7)

(8)

=vx(x,y,z)ΔyΔz

(9)

=vx(x,y,z)ΔyΔz

(10)

同理,可用同樣的方法求出其他四個面上的通量:

(11)

通過研究通量或散度來了解其通量源的特性,可避免直接研究通量源。利用橫截面上截獲的通量獲取截面內場源的大小是一種研究矢量場源的方式。

五、旋度模型

電磁場理論中,一個矢量場的旋度一直是一個教學難點。為便于學生理解,在此用一個簡單的旋度計模型來闡釋其原理,如圖7所示。

圖7中不導電圓盤在xoy平面上。圓盤上沿x軸和y軸方向用兩根不導電細棍固定四個帶相同正電荷量的小球A、B、C和D,這個沿xoy平面的結構可自由轉動。它通過一段彈力線與沿z軸放置的一根不導電圓柱相連。該圓柱固定不動。四個小球受到電場力E左、E右、E前和E后的作用,如圖8所示。

圖7 旋度計模型圖 圖8 帶電小球所受電場力

其中,有向環路C的方向為順時針方向。電場力E左和E右沿x軸方向,E前和E后沿y軸方向,在此研究沿一個方向的兩個電場力的效果足以說明問題。

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

更多具體表示式可參見教材[2],在此,可利用“旋度計”模型深入理解旋度的概念。

結語

本論文針對教學中的重點和難點——哈密頓算子、梯度、散度和旋度,利用圖形和模型進行詳細闡釋。講解哈密頓算子的時候,首先讓學生回顧時間軸上導函數的定義,再過渡到空間上的導函數。講解標量場的梯度時,利用二維坐標系和三維坐標系視角進行詮釋。講解散度時,利用流速場模型進行類比。講解旋度時,利用“旋度計”模型輔助學生理解。與此同時,還詮釋了空間矢量場的下角標和自變量的物理意義。教學實踐表明,本文對“電磁場與電磁波”系列課程中這部分內容的授課很有幫助。