基于依賴強度Dicke 模型的量子電池充電性能*

黃彬源 賀志? 陳雨

1) (湖南文理學院數理學院,常德 415000)

2) (貴州師范學院物理與電子科學學院,貴陽 550018)

研究了基于依賴光場強度耦合Dicke 模型(也被稱為依賴強度Dicke 模型)的量子電池中包括最大存儲能量、充電時間、能量量子漲落以及最大充電功率等充電性能表現.首先考慮了能量非保守項(或者叫反旋波項)對量子電池的最大存儲能量和最大充電功率的影響,研究發現: 最大存儲能量對能量非保守項權重的增加不是很敏感,但最大充電功率隨能量非保守項權重的增加將會發生顯著的變化.進一步,研究了在能量保守項和能量非保守項是相同權重下量子電池中最大存儲能量、充電時間、能量量子漲落以及最大充電功率的變化特征.通過與基于單光子和雙光子Dicke 模型的量子電池的充電性能進行比較,發現基于依賴強度Dicke 模型的量子電池在充電時間和最大充電功率上強于基于單光子Dicke 模型的量子電池,但弱于雙光子Dicke 模型的量子電池.而3 種Dicke 模型在最大存儲能量上沒有一個確定的強弱關系,取決于不同的耦合常數.本文也揭示了雖然在最大充電功率上依賴強度耦合Dicke 模型會弱于雙光子Dicke 模型,但在兩種模型中體現的量子優勢即最大充電功率與量子電池單元數滿足的冪律關系是相同的.總之,本文為進一步研究量子電池提供了一種可選擇的理論方案.

1 引言

量子電池是Alicki 和Fannes[1]在2013 年提出的一種新型量子儲能設備,它是利用量子糾纏這一重要量子資源來更有效地實現量子系統中功(能量) 的提取.后來,Hovhannisyan 等[2]進一步闡明了量子糾纏對提取功上的作用是有限的,但它對充電功率來說至關重要,即如果要求充電功率越大,在這個過程中需要產生的糾纏越多.近年來,基于各種物理模型的量子電池研究迅速引起了人們廣泛的興趣,如多原子系統在諧波場作用下的模型[3]、Dicke 模型[4-9]、自旋鏈模型[10-14]、中心自旋模型[15,16]以及三能級系統模型[17-19]等.一般來說,一個完整的量子電池分為充電、存儲以及放電過程.當前給量子電池充電的方式主要有兩種:1) 并行充電[20],即每一個電池單元 (或者被稱為量子單元quantum cell) 單獨與一個充電器耦合進行充電;2) 集體充電[20,21],即多個電池單元共同與一個充電器耦合進行充電.特別地,Campaioli 等[21]揭示了集合充電方式中量子電池能實現快速充電的關鍵因素是一個整體操作(global operations),如產生多體糾纏操作,并給出了量子優勢所需要滿足的不等式.Ferraro 等[4]研究了基于單光子耦合Dicke 模型且以集合充電方式的量子電池,發現當量子電池中的量子單元數N較大且有限時,集合充電方式在最大充電功率(表征量子優勢的物理量) 上有Pmax∝N3/2,這比并行充電方式Pmax∝N有一個冪指數的提升.Quach 等[5]將有機半導體作為二能級系統與微腔耦合首次在實驗上實現了Dicke 量子電池.后來,Crescente 等[6]進一步研究了基于雙光子耦合Dicke 模型的量子電池中的充電性能,發現最大充電功率Pmax同量子單元數目N之間滿足Pmax∝N2,這進一步改進了量子優勢,而且在充電時間上,雙光子方式比單光子方式更有優勢.最近,Dou 等[8]研究了一個推廣單光子耦合Dicke模型,即考慮原子之間有相互作用以及有外在驅動場作用下的量子電池,發現在強耦合參數機制下,通過調節原子之間的相互作用可以使量子優勢達到Pmax∝N1.88.他們[9]也研究了基于有腔場支撐下的海森伯自旋鏈模型的量子電池,揭示出通過綜合調節模型中的各個參數組合,可以使量子優勢達到Pmax∝N2.近來,Gyhm等[22]研究了一個一般物理模型背景下的量子優勢,并進一步闡明了整體糾纏操作在量子優勢中的重要性,且揭示了體現量子優勢的最大充電功率Pmax∝Nα中的α必須滿足α≤2 .Shi 等[23]詳細研究了量子相干性和量子糾纏等量子資源同量子電池中提取功之間的關系,闡明了量子電池中量子相干性和電池與充電器之間的糾纏是產生非零提取功的必要條件,且在充電結束后,量子相干性促進了相干功,而量子相干性和糾纏抑制了非相干功.最近,Yu 等[24]研究了一個開放量子電池中熱庫的量子相干性對量子電池中充電性能的影響,發現熱庫中的量子相干性對充電功率、充電容量及充電效率的改進是有利的.

另一方面,著名的Jaynes-Cummings (J-C)模型[25]是量子光學中的一個基本且重要的精確可解模型,它是一個描述二能級原子與單模光場相互作用的模型,適用于二能級原子與單模光場之間是弱耦合且近共振情況.在J-C 模型基礎上如果加入反旋波項就是更一般的Rabi 模型[26],它適用于二能級原子與單模光場之間是強耦合甚至超強耦合情況,雖然此時激發數不再守恒,但近來顯示它仍然可以在Bargmann 空間解析求解[27,28].單光子Dicke 模型和雙光子Dicke 模型是在Rabi 模型的基礎上推廣到N個二能級原子與單模光場相互作用的模型[29].它們的不同之處在于,單光子Dicke模型是一種線性耦合模型,而雙光子Dicke 模型[6]則是一種非線性耦合模型.另一種非線性耦合模型是依賴強度的Buck-Sukumar (B-S)模型[30],它是考慮原子與光場的相互作用對光場強度有依賴性的J-C 模型,該模型被闡明可以更好地理解J-C模型中出現的原子翻轉的周期自發塌縮和恢復現象.后來,Ng 等[31]利用幺正變換解析求解了具有反旋波項的B-S 模型.然而,同雙光子耦合方式類似[32,33],依賴強度B-S 模型也會遭遇相同的能譜塌縮現象,即B-S 模型只有在耦合常數小于某一臨界值時才有定義[31,33]且反旋波項不會改變這種性質,只是減小了這個臨界值[34].2016 年,Valverde等[35]建議了用庫珀對箱與納米機械共振器間的相互作用來模擬依賴強度B-S 模型的方案,這為依賴強度B-S 模型的實驗實現提供了一條可能途徑.

我們注意到,關于單光子Dicke 模型和雙光子Dicke 模型的量子電池中的充電性能已經被Ferraro 團隊[4,6]詳細地研究.但作為另一種非線性耦合方式,基于光場依賴強度Dicke 模型(簡稱依賴強度Dicke 模型)的量子電池中充電性能會有怎樣的表現呢? 對于這個問題的研究還未見到相關報道,這是本文研究的主要出發點.這里的依賴強度Dicke 模型是將B-S 模型中一個二能級原子和單模腔場耦合情況推廣到N個二能級原子和單模腔場耦合的情況,且考慮了能量非保守項(即反旋波項)的影響.具體地,本文通過一種精度較高的數值對角化方法,求解了帶有反旋波項的依賴強度Dicke 模型.首先研究了能量保守項和能量非保守項在不同權重情況下基于依賴強度Dicke 模型的量子電池中最大存儲能量和最大充電功率等表征充電性能參量的演化特征,研究發現: 能量非保守項對量子電池中最大充電功率產生明顯的影響,而對最大存儲能量的影響不是很明顯.進一步,討論了模型中的能量保守項和能量非保守項是相同權重情況下的量子電池中包括最大存儲能量、充電時間、能量量子漲落以及最大充電功率等充電性能表現,并同單光子Dicke 模型和雙光子Dicke 模型的量子電池的充電性能進行了比較.研究顯示: 在充電時間和最大充電功率上,依賴強度Dicke 模型會優于單光子Dicke 模型,但會弱于雙光子Dicke模型;在最大存儲能量上,這3 種Dicke 模型各有千秋,取決于不同的耦合常數.另外也發現: 雖然最大充電功率上依賴強度Dicke 模型會弱于雙光子Dicke 模型,但在體現量子優勢,即兩種模型中最大充電功率與電池中量子單元數滿足的冪律關系上是相同的.

本文結構安排如下: 第2 節給出了基于依賴強度Dicke 模型的量子電池模型以及衡量量子電池充電性能的各個物理參量;第3 節基于模型的數值結果揭示了依賴強度Dicke 模型的量子電池中包括最大存儲能量、充電時間、能量量子漲落以及最大充電功率等充電性能表現,并同單光子Dicke 模型和雙光子Dicke 模型的量子電池的充電性能作了詳細的比較;第4 節對文中獲得的結果作了簡要總結和展望.

2 基于依賴強度Dicke 模型的量子電池模型

依賴強度Dicke 模型由N個全同二能級原子集合與一個單模腔場通過依賴光場強度耦合方式發生相互作用組成(它是依賴強度B-S 模型[30]中的單個二能級原子情況推廣到N個二能級原子情況),其中每個二能級原子扮演量子電池中電池單元的角色,而腔場充當充電器的角色.一般來說,一個完整的量子電池包括充電、存儲以及放電過程.本文研究的重點是考察基于依賴強度Dicke模型的量子電池在充電過程中的充電性能.該量子電池的充電過程闡述如下: 當t<0 時,所有的二能級原子與腔場的耦合是關閉的;在充電過程( 0 ≤t

接下來,僅考慮二能級原子的頻率和腔場頻率是相同,即共振情況,如ωa=ωc,因為在非共振情況ωa≠ωc,從腔場到二能級原子系統的能量轉移效率是更低的[4].鑒于研究的基于依賴強度Dicke模型的量子電池系統是一個封閉系統,這里假設N個二能級原子最初都處于基態 |g1,g2,···,gN〉a,單模腔場處于光子數態 |N〉c,這樣整個系統的初態能表示成

這里,封閉系統在幺正演化下的含時波函數通過下列方式得到: |ψ(t)〉=e-iHt|ψ(0)〉.相應地,平均充電功率被定義為[37]

特別地,在某一些特定的時刻能獲得最大存儲能量以及最大充電功率是量子電池表征充電性能的一些核心指標,它們被定義為[4]

另外,在充電過程中存儲的能量可能存在不可避免的漲落(即能量量子漲落)也是衡量量子電池充電性能的一個重要的指標,它被定義為[38]

其中Jz(t) 表示算符Jz在海森伯繪景中的含時對應量,相應的平均值計算是在初態 |ψ(0)〉進行的.考慮到海森伯繪景和薛定諤繪景之間的關系,能量量子漲落Σ(t) 能被簡化成其中平均值計算是在薛定諤繪景中的演化態|ψ(t)〉上執行的.

3 分析與討論

鑒于依賴強度Dicke 模型中包含了能量非保守項,這樣基于該模型的量子電池在充電過程中腔場中的光子數并不守恒.一般來說,要獲得該模型的解析表達式是一件非常困難的事情.為此,在接下來的討論中將利用一種精度較高的數值方法來獲得該模型的動力學演化,進而考察基于模型的量子電池在充電過程中充電性能的表現.原則上,因為能量不守恒項的存在使得腔場中的光子數需要取任意大的整數.但文獻 [4,6] 通過數值模擬發現:對Dicke 哈密頓量數值對角化的過程中,只要腔場中光子數滿足Nph=4N,其數值計算的結果誤差在 10-5以下.數值計算中,部分利用了文獻[39]中的Python 程序.下面將研究基于依賴強度Dicke模型的量子電池中充電性能的表現,并同基于單光子Dicke 模型[4]和雙光子Dicke 模型[6]的量子電池中充電性能進行比較,闡明各種Dicke 耦合模型中充電性能的異同.衡量量子電池在充電過程中充電性能表現的物理量包括最大存儲能量Emax、充電時間tE、能量量子漲落以及最大充電功率Pmax等(分別用 1ph(1 photon) ,2ph(2 photon) 和ID(intensity-dependent)區分單光子、雙光子和依賴強度Dicke 模型).首先,考慮基于依賴強度Dicke 模型的量子電池中最大存儲能量和最大充電功率隨權重參數ξ和耦合常數g的變化關系.

3.1 最大存儲能量和最大充電功率與權重參數 ξ 和耦合常數g 的關系

圖1 給出了基于依賴強度Dicke 模型的量子電池中最大存儲能量和最大充電功率隨權重參數ξ和耦合常數g的變化(在數值計算的過程中,已經假設量子電池中的量子單元數N=10).觀察圖1 可以看到,最大存儲能量和最大充電功率隨權重參數ξ和耦合常數g的變化表現出一些值得注意的特征.1) 總的來說,最大存儲能量對權重參數ξ和耦合常數g的增加不是特別敏感,換句話說,耦合常數g從弱耦合到強耦合機制變化時,能量非保守項對量子電池在充電過程中最大存儲能量的貢獻不是特別明顯,如圖1(a)所示;然而,權重參數ξ和耦合常數g對最大充電功率有明顯的影響,特別地,在耦合常數g處于強耦合機制下,隨著權重參數ξ的增加,最大充電功率發生了明顯的變化,如圖1(b)所示.因此,能量非保守項的加入其實只對最大充電功率有明顯的影響,而對最大存儲能量的影響是有限的,這是一個令人感興趣的結果.2)從細節上來說,最大存儲能量與權重參數ξ和耦合常數g之間不是一個單調變化的關系,而是時減時加的關系;但最大充電功率隨權重參數ξ和耦合常數g的增加而單調遞增.到此,我們已經得知,隨著能量非保守項權重的增加,最大充電功率可以很明顯地得到提高.接下來,進一步將基于依賴強度耦合Dicke模型同單光子和雙光子耦合Dicke 模型的量子電池中充電性能進行比較,本文選擇ξ=1,即能量保守項和能量非保守項是相同權重的情況.

圖1 基于依賴強度Dicke 模型的量子電池中(a)最大存儲能量 (以 ωa 為單位)和(b)最大充電功率 (以 為單位)隨權重參數 ξ 和耦合常數g 的變化.在數值計算的過程中,電池單元數被設定為N=10Fig.1.(a) Stored energy (in units of ωa ) and (b) maximum average charging power (in units of ) as a function of the parameters ξ and g for the intensity-dependent Dicke quantum battery,where the number of quantum cell N=10 is chosen in the calculation.

3.2 基于依賴強度、單光子和雙光子Dicke模型的量子電池中充電性能比較

圖2 給出了基于依賴強度Dicke 模型的量子電池中存儲能量EID(t)、能量量子漲落和平均充電功率PID(t) 在不同的耦合常數下隨無量綱時間參數ωat的演化(量子電池中的量子單元數被設定為N=10).

圖2 在不同的耦合常數 g=0.005 →0.1 →0.5 下,基于依賴強度Dicke 模型的量子電池中存儲能量 EID(t) (以 ωa 為 單位)、能量量子漲落 ΣID(t) (以 ωa 為單位),以及平均充電功率 PID(t) (以 為單位) 隨無量綱時間參數 ωat 的演化,量子電池中的量子單元數被設定為N=10Fig.2.Stored energy (t) (in units of ωa ),its fluctuation ΣID(t) (in units of ωa ),and average charging power PID(t) (in units of ) versus the dimensionless quantity ωat for the intensity-dependent Dicke quantum battery in the different couplings,where quantum cell is set to N=10 in the calculation.

圖3 在不同的量子單元數(N=8 →10 →12 →14 )下,基于依賴強度Dicke 模型的量子電池中(a)最大存儲能量 (以ωa 為單位)和(b)最大充電功率 (以 為單位)隨耦合常數g 的變化Fig.3.(a) The maximum stored energy (in units of ωa ) and (b) maximum charging power (in units of ) versus the couplings constant g for the intensity-dependent Dicke model in the different quantum cells N=8 →10 →12 →14 .

圖4 在不同的耦合常數 g=0.005 →0.1 →0.5 下,基于依賴強度Dicke 模型的量子電池中(a)最大存儲能量 (以 ωa 為單位)和(b)能量量子漲落 ΣID (以 ωa 為單位)隨量子單元數N 的變化Fig.4.(a) The maximum stored energy (in units of ωa ) and (b) its quantum fluctuation ΣID (in units of ωa) versus the number of quantum cells N for the intensity-dependent Dicke model in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 .

2)能量量子漲落ΣID(t) 和.從 圖2(a)–(c)中的虛線可以看到,無論在弱耦合還是強耦合機制g=0.005→0.1→0.5,隨著時間的推移,量子電池在充電過程中存儲的能量都會存在一定的漲落,即能量量子漲落.怎樣解釋量子電池中一直會存在能量量子漲落呢? 其原因是除了最開始時刻二能級原子系統與腔場處于分離態,其后任意時刻二能級原子系統與腔場一直在發生相互作用,這導致全部來自腔場中的能量Emax=Nωa并沒有全部轉移在原子上(即存儲能量EID(t) 總是小于Nωa),正如文獻[40]闡明的一樣,只有當量子電池全部充滿電,才不會有漲落.另外,在不同的耦合常數下,可得到的最好的能量量子漲落為=1.577,對應的最大存儲能量為=7.313 .而單光子Dicke模型中最好的能量量子漲落能達到=1.194,其對應更多最大存儲能量=8.861 .為了更直觀顯示基于3 種Dicke 模型的量子電池中最大存儲能量、充電時間以及相應的能量量子漲落之間的比較關系,將相關數據列于表1 中.

表1 在不同耦合常數 g=0.005 →0.1 →0.5 下,基于依賴強度、單光子和雙光子3 種Dicke 模型的量子電池中最大存儲能量 Emax(tE) (以 ωa 為單位)、能量量子漲落 ≡Σ(tE) (以 ωa 為單位)及充電時間 tE (以 為單位)等充電性能參數的比較.在數值計算中,量子單元數被設定為N=10Table 1. Comparisons of the maximum stored energy Emax(tE) (in unit of ωa ),its fluctuations ≡Σ(tE) (in units of ωa) andcorresponding charging time tE (in units of ) for the intensity-dependent,single photon,and two-photon Dicke models in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 ,and quantum cells N=10 in the calculation.

表1 在不同耦合常數 g=0.005 →0.1 →0.5 下,基于依賴強度、單光子和雙光子3 種Dicke 模型的量子電池中最大存儲能量 Emax(tE) (以 ωa 為單位)、能量量子漲落 ≡Σ(tE) (以 ωa 為單位)及充電時間 tE (以 為單位)等充電性能參數的比較.在數值計算中,量子單元數被設定為N=10Table 1. Comparisons of the maximum stored energy Emax(tE) (in unit of ωa ),its fluctuations ≡Σ(tE) (in units of ωa) andcorresponding charging time tE (in units of ) for the intensity-dependent,single photon,and two-photon Dicke models in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 ,and quantum cells N=10 in the calculation.

表2 在不同耦合常數 g=0.005 →0.1 →0.5 下,基于依賴強度、單光子和雙光子3 種Dicke 模型的量子電池中最大充電功率 Pmax(tP) (以 為單位)和充電時間 tP (以 為單位)等充電性能參數上的比較,量子單元數被設定為N=10Table 2. Comparisons of the maximum average charging power Pmax(tP) (in units of ) and corresponding charging time tP (in units of ) for the intensity-dependent,single photon,and two-photon Dicke models in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 ,and quantum cell N=10 .

表2 在不同耦合常數 g=0.005 →0.1 →0.5 下,基于依賴強度、單光子和雙光子3 種Dicke 模型的量子電池中最大充電功率 Pmax(tP) (以 為單位)和充電時間 tP (以 為單位)等充電性能參數上的比較,量子單元數被設定為N=10Table 2. Comparisons of the maximum average charging power Pmax(tP) (in units of ) and corresponding charging time tP (in units of ) for the intensity-dependent,single photon,and two-photon Dicke models in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 ,and quantum cell N=10 .

前文已經討論了在確定的量子單元數,如N=10下,最大存儲能量、充電時間、能量量子漲落以及最大充電功率在不同耦合常數下的變化特征,并同單光子和雙光子Dicke 模型中的充電性能進行了詳細的比較.研究發現,在充電時間和最大充電功率上,基于依賴強度Dicke 模型優于單光子Dicke 模型,但弱于雙光子Dicke 模型;而3 種Dicke 模型在最大存儲能量上沒有一個確定的強弱關系,同耦合常數密切相關.

3.3 最大存儲能量、能量量子漲落以及最大充電功率與量子單元數的關系

其中,冪指數b反映了量子電池在充電的過程中,與并行充電方式相比具有的集體充電的量子優勢.為了較為準確地獲得a和b的值,這里采用線性擬合的方式.為此,在方程(10)的兩邊執行一個線性化處理,即

通過數值計算和數據擬合,不難確定方程(10)和方程(11)中的a和b如圖5 所示.為了將依賴強度Dicke 模型和雙光子Dicke 模型中的最大充電功率隨量子單元數的變化進行比較,圖5 中也顯示了雙光子Dicke 模型中的數值計算和數值擬合的結果,即.從圖5 可以清楚地看到,對于每一個量子單元數N,從弱耦合到強耦合機制(g=0.005→0.1→0.5)依賴強度Dicke 模型中最大充電功率弱于雙光子Dicke 模型中最大充電功率,即(a<α).然 而卻遵守類似的冪指數規律,如(b≈β≈2).為了更清楚地比較,將相關的數據列于表3 中.因此,通過以上研究可知,雖然依賴強度Dicke 模型在最大充電功率上會弱于雙光子Dicke 模型,但在兩個模型中都具有相同的量子優勢.

表3 在不同耦合常數( g=0.005 →0.1 →0.5 )下,基于依賴強度Dicke 模型中最大充電功率 ∝aNb (以 為單位)和雙光子耦合Dicke 模型中最大充電功率 ∝αNβ (以 為單位)的比較Table 3. Comparisons of the maximum average charging power ∝aNb and ∝αNβ (in units of ) for the intensity-dependent and two-photon Dicke models in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 .

表3 在不同耦合常數( g=0.005 →0.1 →0.5 )下,基于依賴強度Dicke 模型中最大充電功率 ∝aNb (以 為單位)和雙光子耦合Dicke 模型中最大充電功率 ∝αNβ (以 為單位)的比較Table 3. Comparisons of the maximum average charging power ∝aNb and ∝αNβ (in units of ) for the intensity-dependent and two-photon Dicke models in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 .

圖5 在不同的耦合常數(g=0.005 →0.1 →0.5)下,基于依賴強度Dicke 模型和雙光子Dicke 模型的量子電池的最大充電功率 (以 為單位)隨量子單元數N 的變化,量子單元數N ∈[1,30]Fig.5.Comparison of maximum charging power (in units of ) versus the number of qubits N for the intensitydependent Dicke model and two-photon Dicke model in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 ,quantum cells N ∈[1,30] .

4 結論

本文通過一種精度較高的數值對角化方法,求解了帶有反旋波項的依賴強度Dicke 模型 (N個二能級原子通過非線性耦合方式共同與一個單模腔場發生相互作用).進一步,探索了基于該依賴強度Dicke 模型的量子電池(這里,每個二能級原子作為一個電池單元,單模腔場作為充電器)中包括最大存儲能量、充電時間、能量量子漲落以及最大充電功率等充電性能.通過與基于單光子和雙光子Dicke 模型的量子電池中的充電性能作比較,發現: 基于依賴強度耦合Dicke 模型的量子電池在充電時間和最大充電功率上強于基于單光子Dicke模型的量子電池,但弱于雙光子Dicke 模型的量子電池.并且3 種Dicke 模型在最大存儲能量上沒有一個確定的強弱關系,而是與耦合常數的選擇有關.另外,揭示了基于該依賴強度耦合Dicke 模型的量子電池中能體現量子優勢的冪律關系: 當二能級原子數目很大且有限時,量子電池中的最大充電功率與二能級原子數目的平方成正比.令人感興趣的是,這一冪律關系優于基于單光子Dicke 模型的量子電池中的冪律關系,而與基于雙光子Dicke 模型的量子電池中的冪律關系是相同的.最后需要指出的是,考慮到依賴強度Dicke 模型和雙光子Dicke 模型中可能會出現能譜塌縮現象,這里討論使用的耦合參數不是很大(采用同雙光子Dicke 模型[6]中相同的耦合參數).近來,Liu 等[41]研究了通過引入一個非線性光子項對B-S 模型的影響,發現引入的非線性光子項不僅可以消除能級塌縮現象,而且對模型中光子阻塞效應有重要的影響.因此,在依賴強度Dicke 模型中是否可以引入一個非線性光子項來消除模型中的能譜塌縮問題,且非線性光子項對量子電池中的充電性能是有正面還是負面的影響? 另外,文中研究的依賴強度Dicke模型沒有考慮原子之間的相互作用對充電性能性影響,在其他模型如單光子Dicke 模型[8]中已經顯示原子之間的相互作用對最大充電功率有重要的影響.這些有意思的問題值得今后進一步研究.