分數階泛函微分方程多點邊值問題的正解與多個正解

沈春芳，楊 劉

（合肥師范學院 數學與統計學院，安徽 合肥 230001）

討論含復雜時滯分數階泛函微分方程多點邊值問題

正解的存在性，其中

近年來隨著分數階微分方程理論在物理、化學、生物學和空氣動力學等方面應用的不斷深入，對分數階微分方程邊值問題解與正解的研究受到人們的廣泛關注[1-10]。Z.B.Bai 等[11]討論了兩點邊值問題

正解的存在性。Z.B.Bai[12]討論問題

在非線性項滿足適當增長性條件下建立了正解存在性結果。C.F.Liu 等[13]利用不動點定理給出了問題

正解與多個正解的存在性的充分條件。

目前對含時滯的分數階泛函微分方程邊值問題正解的存在性研究比較少。本文研究含復雜時滯分數階泛函微分方程多點邊值問題（1-2）正解的存在性，建立了問題對應的Green 函數并給出Green 函數具有的性質，分別利用Schauder 不動點定理和Leggett-Williams 不動點定理，建立問題正解與多個正解的存在性結論。

1 預備知識及引理

引理1.1 設α＞0,u∈C(0,1)?L(0,1)，分數階微分方程Dα0+u(t)=0 有形式解

其中Ci∈R,i=1,2,…,N,N為不小于α的最小整數。

引理1.2 設

其中Ci∈R,i=1,2,…,N,N為不小于α的最小整數。

引理1.3 給定

y(t)∈C[0,1],η0=0,ηm-1=1,β0=βm-1=0,則邊值問題

有形式解

其中對ηi-1≤s≤ηi,i=1,2,…,m-2,

證明 由引理1.1，方程（1.1）具有形式解

代入邊值條件得

代入得

引理1.4 引理1.3定義的函數G(t,s)

（1）G(t,s)＞0,t,s∈(0,1)

（2）G(t,s)≤G(s,s),t,s∈[0,1]

證明（1）對ηi-1≤s≤ηi,i=1,2,…,m-1,t≤s,

對ηi-1≤s≤ηi,i=1,2,…,m-1,t≥s,

（2）記

則

由單調性即得

（3）記

則由引理1.3和引理1.4得

定義1.1 映射ψ稱為Banach空間E中錐P上的非負連續凹泛函，如果ψ:P→[0,+∞)連續且對任何x,y∈P,t∈[0,1],成立

設0＜a＜b，ψ是錐C 上的非負連續凹泛函，定義

引理1.5 設P 是Banach 空間中的閉凸集，T:P→P是緊連續映射，則T 在P 上至少有一個不動點。

并滿足ψ(x)≤‖x‖。設存在正數0 ＜a＜b＜d≤c使得

則算子T至少有三個不動點x1,x2,x3滿足

2 主要結論

顯然算子T 在錐P 的不動點即為邊值問題（1）-（2）的正解。

定理2.1 設存在函數a(t)∈L[0,1]使得

則邊值問題（1）-（2）在C[0，1]中至少存在一個正解。

證明設P 的子集合PR={}u∈P|‖u‖ ≤R，下面證明T是其上的全連續算子。

（1）對任意的u∈PR,

這表明算子T是一直有界的。

（2）對任何u∈PR,t1,t2∈[0,1],

由Green 函數關于t 的全連續性可得算子T 是等度連續的。由Ascoli-Arezela定理，算子T是凸集PR上的全連續算子，則由Schauder 不動點定理，算子T 至少在PR上存在一個不動點，即邊值問題（1）-（2）在C[0，1]上至少存在一個正解。

記

定理2.2 設存在正數0 ＜a＜b＜c使得

則邊值問題（1）-（2）在C[0，1]中至少存在三個正解。

證明定義泛函

這樣引理1.6 的條件全部滿足，因此則邊值問題（1）-（2）至少存在三個正解。