設(shè)而不求，巧解三類數(shù)學(xué)題

倪娜

設(shè)而不求主要是指根據(jù)題目特征，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)置未知數(shù)，然后找到有關(guān)等量關(guān)系，建立相應(yīng)的代數(shù)式或方程式，再將未知數(shù)消去或代換，從而達(dá)到求解的目的.簡單地講，設(shè)而不求就是只設(shè)未知數(shù)，不求其值，其本質(zhì)是換元.這種解題方法能快速、準(zhǔn)確、簡捷地解答一些棘手的問題．下面舉例說明“設(shè)而不求”在求解三類數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用方法.

一、設(shè)而不求，求二次根式的值

在解答二次根式求值問題時(shí)，當(dāng)運(yùn)用常規(guī)思路直接求值較為棘手時(shí)，可以將已知條件的某一參數(shù)作為變量，設(shè)出輔助未知數(shù)，借助虛設(shè)的參數(shù)對二次根式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形再求值.這種設(shè)而不求的方法，既可以使已知與所求目標(biāo)之間的聯(lián)系更加明朗，又可以避開繁雜的運(yùn)算過程.

例1

分析

解

評(píng)注：本題增設(shè)了輔助未知數(shù) t ，通過化簡、變形、代換，設(shè)而不求，使問題化難為易.在這一過程中，要注意“ t >0”這一隱含條件.

二、設(shè)而不求，比較分?jǐn)?shù)的大小

在比較分?jǐn)?shù)大小時(shí)，尤其對于一些復(fù)雜的分?jǐn)?shù)比較大小問題，運(yùn)用一般解法直接求解會(huì)非常繁瑣，且容易出錯(cuò).此時(shí)，同學(xué)們?nèi)裟芙Y(jié)合分式特點(diǎn)適當(dāng)引入輔助未知數(shù)，并將其帶入分?jǐn)?shù)中，利用分?jǐn)?shù)的分子與分母間的關(guān)系與分?jǐn)?shù)特征，設(shè)而不求，則可以使繁難的分?jǐn)?shù)問題變得簡單.

例2比較1（1）9（9）9（9）4（4）1（1）9（9）9（7）5（9）與19941996（19941980）的大小.

分析：本題兩個(gè)分式中的分子和分母數(shù)字都較大，若按照常規(guī)思路直接比較大小，顯然十分困難.觀察分式特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)19941995與19941996、19941979與19941980均相差1，若能恰當(dāng)引入未知數(shù)，設(shè)而不求，則可以避免復(fù)雜運(yùn)算，快速找到解題的突破口.

解：

評(píng)注：本題關(guān)鍵在于設(shè)19941995=a，19941979=b，然后通過 - <0，得出a（b）< a（b）1（1），進(jìn)而確定1（1）9（9）9（9）4（4）1（1）9（9）9（7）5（9）與1（1）9（9）9（9）4（4）1（1）9（9）9（8）6（0）的大小.整個(gè)過程設(shè)而不求，簡潔明了，達(dá)到了避繁就簡的目的.

三、設(shè)而不求，解答實(shí)際應(yīng)用題

對于某些較為復(fù)雜的應(yīng)用題，所給已知條件不多，或者數(shù)量較多，各數(shù)量間的關(guān)系并不明顯，倘若直接設(shè)元，很難提煉出復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系式，此時(shí)可以通過引進(jìn)輔助元，再依據(jù)題意提煉出含輔助元的數(shù)量關(guān)系式，列出有關(guān)方程式（組）.而輔助元在求解過程中一般可以整體求出或在寫出結(jié)果時(shí)被消去，這樣問題就可以輕松獲解.

例3小紅在網(wǎng)上購買甲、乙、丙三種型號(hào)的鉛筆，已知買4支甲型、20支乙型、16支丙型的鉛筆共需12元；買6支甲型、14支乙型、8支丙型的鉛筆共需18元，試問買2支甲型、5支乙型、3支丙型的鉛筆共需多少元？

分析：本題是一道典型的方程應(yīng)用題，按照解方程的步驟，需要先設(shè)甲、乙、丙三種型號(hào)的鉛筆單價(jià)分別為 x 元、y 元、z 元，再根據(jù)題意列出方程組.但是所列方程組中的每個(gè)方程均含有三個(gè)未知數(shù)，顯然直接解出x，y，z的值難度較大.注意到本題實(shí)際上是求2x +5y +3z 的值，因此，可以采用設(shè)而不求法予以求解.

解：

答：

評(píng)注：本題借助設(shè)而不求法，設(shè)輔助元z ，將之視為已知常數(shù)，使三元一次方程組問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的二元一次方程組問題，得出 x =3+z， y =-z 后，再整體代入求解.

總之，“設(shè)而不求”法不僅可以用于解答各類代數(shù)問題，還可以用于解答幾何問題.當(dāng)遇到用常規(guī)方法難以解答的問題時(shí)，同學(xué)們不妨另辟蹊徑，根據(jù)題意靈活引入輔助參數(shù)，設(shè)而不求，從而簡化問題，減少計(jì)算量，提高解題效率.