如何解答與二次函數有關的幾何圖形證明題

楊揚

與二次函數有關的幾何圖形證明題通常較為復雜，需靈活運用數形結合思想，才能順利解題.這類問題主要考查同學們綜合運用二次函數和平面幾何圖形知識的能力.下面結合幾個例題，探討一下如何求解與二次函數有關的幾何圖形證明題.

一、證明直線平行

在解答與二次函數有關的幾何圖形證明題時，經常會遇到證明兩條線段或直線平行的題目，要先根據二次函數的解析式和圖象來確定直線上點的坐標，以確定兩條直線的位置；然后結合兩直線平行的判定定理：如果兩條直線被第三條直線所截，同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，則兩條直線平行，來證明兩條直線平行.

例1

解：

二、證明三角形全等

解答與二次函數有關的全等三角形證明題，大多需要先設出未知數，如二次函數的解析式、點的坐標、角的度數等，并根據二次函數的解析式建立這些未知數之間的關系式，求得兩個三角形的邊長、內角的大小；再利用勾股定理以及全等三角形的判定定理進行解題.

例2如圖3所示，在直角坐標系中，正方形 CBAO 的邊長為2，O 為坐標原點，A 點落在 x 軸的正半軸上，C 點落在 y 軸的正半軸上.一條拋物線以 D 點為頂點并且經過 A 點，其中 D 點為 OC 的中點.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）正方形 CBAO 的對角線BO 和拋物線相交于 E 點，并且 FG 經過 E 點且和 x 軸垂直，并且交 x 軸于 F 點，交 BC 于 G 點.請證明 EG 和 OB 的長度關系；

（3）點 H 為拋物線上在正方形 CBAO 中的任意一點，線段 IJ 過點 H 和 x 軸垂直，并且交 x 軸于點 I ，交 BC 于點 J，點 K 在 y 軸的正半軸上，并且 OH = OK，求證△IHO ≌△CKJ.

解：

三、證明特殊四邊形

解答與二次函數有關的特殊四邊形證明題，需先根據二次函數的解析式求得四邊形各個點的坐標，根據兩點間的距離公式求得四邊形的邊長，并結合二次函數的圖象確定各個點的位置；然后根據兩直線平行的判定定理判定四邊形的對邊是否平行，若四邊形的對邊平行且相等，則該四邊形為平行四邊形；若該四邊形的四條邊相等，鄰邊互相垂直，且對角線互相垂直，則該四邊形為正方形；若該四邊形的四條邊相等，對角線互相垂直，則該四邊形為菱形.

例3

解

總之，解答與二次函數有關的幾何圖形證明題，需能夠將所學的函數知識、平面幾何知識等融會貫通起來，通過數形結合，將問題轉化為幾何圖形的長度、角度問題，以及直線和圖形的位置關系問題.