例談一道平面幾何題的解法

王艷

平面幾何問題是初中數(shù)學(xué)的一個重點和難點，其知識點覆蓋方面廣，題型多樣，常以幾何圖形如三角形、平行四邊形、圓等為載體來研究角度大小、邊的長度等.很多同學(xué)在解答平面幾何題時，因為找不到已知條件與待求結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，而感覺無從下手.本文以一道以三角形為載體的平面幾何題為例，從構(gòu)造輔助線、進行旋轉(zhuǎn)等不同角度，探尋多種解題思路.

例題：

解法一：構(gòu)造輔助線

構(gòu)造輔助線是解答平面幾何問題最常用的方法.對于條件較為復(fù)雜的題目，我們往往不能直接通過已知圖形和條件得到答案.這就需要通過觀察幾何圖形的特征，構(gòu)造一些特殊的輔助線來幫助求解.在通過添加輔助線構(gòu)成的新圖形中，可以找到許多幾何中間量進行轉(zhuǎn)化，也可以構(gòu)造如等邊三角形、直角三角形等特殊圖形來為解題創(chuàng)造可用的條件.

解：

說明：構(gòu)造輔助線要求同學(xué)們對幾何圖形的性質(zhì)有著很好的把握.因此，在平時的練習(xí)中要注意總結(jié)有關(guān)的輔助線模型，如全等三角形之三垂直模型、雞爪模型、中位線模型等.

解法二：進行旋轉(zhuǎn)

在有些幾何問題中，我們可以通過進行旋轉(zhuǎn)變換，在保持原有圖形相關(guān)性質(zhì)不變的前提下，改變原圖形中的相關(guān)線段、角的位置，從而將已知的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為有利于我們解題的新條件.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，由此，利用全等三角形的性質(zhì)便可順利求得角的度數(shù).

解

說明：在使用旋轉(zhuǎn)法解題時需要注意的關(guān)鍵點是旋轉(zhuǎn)什么，旋轉(zhuǎn)多少角度.合適的旋轉(zhuǎn)才能簡化后續(xù)的運算.

解法三：運用角元塞瓦定理

角元塞瓦定理是三角形中的一個常用定理，蘊含著豐富的幾何性質(zhì).其有兩種形式，分別是以邊長為中心的定理形式和在邊長基礎(chǔ)上推導(dǎo)得出的角元形式推論.下面簡單介紹定理內(nèi)容及推論，并進行相關(guān)證明.

定理：

證明

推論

證明

解

說明：此定理的適用范圍較廣，本題直接利用角元的塞瓦定理代入，即可求出對應(yīng)的相關(guān)角. 同學(xué)們在運用角元的塞瓦定理時，不僅要牢記公式，還要掌握公式的證明過程。

以上三種方法從不同的角度解答了這道平面幾何問題，前兩種方法是同學(xué)們在解題中常用的方法，主要考查對于圖形的敏感性，同學(xué)們在平時做題時應(yīng)多加分析、比較和總結(jié)；對于角元塞瓦定理，在運用時要先進行推導(dǎo)證明，再根據(jù)公式反推代入即可.