三角形中位線的性質及其應用探析

盧明

三角形中位線的性質是平面幾何中的一個重要定理.該定理的結論既包含兩線段所在直線的位置關系，又包含兩線段之間的數量關系，在解答平面幾何問題中有著廣泛的應用．在運用三角形中位線的性質解題時，有時需要運用平行關系，有時需要運用倍分關系，可以根據具體情況，按需選用.下面結合例題予以說明.

一、三角形中位線的定義和性質

三角形中位線的定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.三角形有三條邊，所以三角形的中位線應該有三條，如圖1所示：如果點 D、E、F 分別是 AB、BC、CA的中點，那么線段 DE、EF、FD 都是三角形的中位線.

三角形中位線的性質：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.由此不難得到三角形的中位線與第三邊的關系：（1）位置關系：三角形的中位線與第三邊互相平行，如在圖1中，有 DF∥ BC；（2）數量關系：三角形的中位線等于第三邊的一半，如在圖1中，有 DF = BC.

二、三角形中位線的性質在解題中的應用

中位線的性質在解三角形問題時通常有以下三種用途：第一種是用于三角形的線段長度的計算；第二種是證明線段間的位置關系或由位置關系得出角之間的關系；第三種是求解三角形內線段間的和、差、倍分關系.

1.利用三角形中位線的性質證明角相等

由于三角形的中位線與三角形第三邊之間存在平行的位置關系，因此，在證明兩個角相等的時候，就可以借助或構造三角形的中位線，利用兩直線平行，同位角及內錯角相等來證明.這樣既快捷，又簡便.

例 1? 如圖 2，四邊形 ABCD中，AB=CD，點 E，F分別是 AD，BC的中點，GH⊥EF交于點 P . 延長 BA，FE相交于點 Q，延長 CD交 FE的延長線于點 K，求證：∠AGH=∠DHG.

分析

證明

2.利用三角形中位線的性質求線段的長度

三角形中位線的長度等于第三邊長度的一半.利用好這個性質，可以為我們求解兩線段的數量關系提供一個重要的依據.所以當題目中遇到三角形一邊的中點，所求的問題涉及求線段的長度時，常將三角形中位線的性質和三角形其他知識結合起來.

例2

分析

解

3.利用三角形中位線的性質證明線段的倍分關系

三角形的中位線不僅體現了線段之間的位置關系，也體現了線段之間的數量關系.在證明線段的和差倍分等問題中，最重要的是找到線段之間的數量關系，而很多題目是難以直接進行數量轉換的，因此需作出正確的輔助線，找出圖形中形狀、位置或者數量上的聯系，借助中間量，將所求線段之間的間接關系轉化為直接關系，最終求得答案.

例5已知，如圖6，在△ABC 中 AB =AC，延長 AB 到 D，使 BD =AB，E 為 AB 的中點，求證：CD =2CE.

分析：這是證明線段的倍半問題，證明一條線段等于另一條線段的二倍或一半時，常常是先找出短線段二倍長的線段，或者取長線段的一半，設法把線段的倍半問題轉化為證明線段相等的問題.這就是通常所說的“加倍”“折半”的方法.

方法1：找出 CD 的一半，然后證明 CD 的一半和 CE相等，

取 CD 中點 F，證 CF = CE.

證明：

方法2

證明：

由以上幾例不難看出，當題目有中點這一條件時，應設法尋找另一個“中點”，以構造三角形的中位線，然后利用中位線的性質解題.這是一種常用的解題技巧.