言之有“理”：“童化”視域下數學學習活動的結構化設計

摘要：言之有“理”，也就是用數學語言講清數學道理。數學知識有其嚴密的邏輯結構，教師和學生在課堂中要明白每個知識點的前移后續，要清晰地知道所學內容位于知識體系中的哪個具體位置。教師可以從常規積累、開放導入、核心推進、拓展延伸四個環節入手，結構化設計數學學習活動。

關鍵詞：道理；童化；結構化；學習活動

言之有“理”，也就是用數學語言講清數學道理。“童化”指的是兒童立場，也就是教學活動要圍繞學生主體需求來設計。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）指出：“通過合適的主題整合教學內容，幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發展核心素養。”數學知識有其嚴密的邏輯結構，教師和學生在課堂中要明白每個知識點的前移后續，要清晰地知道所學內容位于知識體系中的哪個具體位置。所以，教師要關注如何進行結構化的教學活動設計，引導學生在新知探究中建構結構化的數學思維。結構化設計依據數學知識縱向概念范圍一般可分為三類：大單元主題結構化學習、單元整體設計的結構化教學、課時知識學習的結化設計。課時數學學習活動結構化設計一般分為四個環節：常規積累、整體進入、核心推進、拓展延伸。筆者以人教版數學教材六年級上冊“圓的面積”學習為例，著重談談課時學習活動結構化設計與思考。

一、常規積累：課前熱身，扎穩新知“錨樁”

學習是一個循環重復的過程，每一個新知的建構都固著在舊知的“錨樁”上。所以，學習新內容時，教師必須要協助學生找到“錨樁”。教師可以通過備學完成，也可以在課前3分鐘暖場，進行常規積累，如師生談話、觀看視頻、完成練習等，意在引導學生調動已有的知識結構、方法結構，即激活腦中的已有“圖式”。

例如，“圓的面積”一課學習所需要的“錨樁”基于兩個經驗：一是學生已有的認知結構，即平行四邊形、三角形、梯形等面積推導方法與應用，以及圓的周長推導與應用；二是方法結構，即通過“轉化”，將“未知”變“已知”，然后尋找對應關系，歸納出需要的結論。基于以上分析，本課“常規積累”內容可以這樣設計：

1.方法梳理。已學過哪些圖形面積，在學習時是怎樣推導出它們的面積的？用你喜歡的方法把過程記錄下來，并與同桌分享。

2.學習回顧。圓周長是怎樣推導的，圓周長與直徑和半徑是什么關系？（引導學生了解C=πd或C=2πr）

3.發現與困惑：你有什么新發現，還有什么學習困惑？分別寫出3條到班級中進行交流。

學生在課堂中親身經歷了探究過程，就會用自己的方式表達出來，在課堂上就會有話可說。有的學生發現新學的圖形都是轉化成已學過的圖形進行面積推導的，于是很快聯想到：圓可以轉化成什么樣的圖形進行面積推導？長方形、正方形等平面圖形的面積都與它們的邊有關，圓看得見的邊只有“周長”，“一條邊”應怎樣計算它的面積呢？圓的周長是直徑的π倍，圓的面積會不會也有誰與誰存在π倍關系呢？學生帶著這樣疑問與思考進入新課學習，就會使課堂教學更有針對性。

二、整體進入：連續導入，鳥瞰內容全貌

在以往的傳統課堂上，教師一般都按照教材上編排呈現的方式按部就班地進行教學，教學呈現“點狀化”特點，長此以往，學生雖然一節課一節課地學習了，但內容零散，缺少聯系與聚焦。結構化課堂教學設計，要求整體進入，讓學生鳥瞰內容全貌，既見“樹木”，又見“森林”，即調動學生腦中的已有經驗，用多元的“圖式”進行信息化表達。

例如，“圓的面積”一課的引入部分，教師可以先讓學生說說圓的面積大小會與什么有關。學生可能會說與直徑有關，也有可能會說與半徑或周長有關，這些都是學生的“直覺”與“數感”，教師要給予肯定。那圓的面積大小到底是由什么決定的呢？教師可以提出引導性問題，但不能讓學生如海底撈針似的猜想，而是需要給學生一個方向和范圍。教師可以先出示方中圓、圓中方的圖例（見圖1）。

然后，教師可以引導學生猜想：如果以圓的半徑為邊長畫一個小正方形，如圖1，連接對角線，以其為邊長畫一個圓內接正方形，并畫出圓的外切正方形。那么，圓的面積與小正方形的面積有什么樣的倍數關系？

學生結合個人經驗，根據自己的“形感”，猜想到圓的面積大小應該介于圓外切正方形的面積與圓內接正方形的面積之間。若用r2來表示小正方形的面積，S外切正方形=4r2，S內接正方形=[r22]×4=2r2。學生據此可得出：圓的面積比邊長是r的小正方形面積的4倍少一些，比其2倍多一些；也會有一部分學生會聯想到剛學過的“圓周長是直徑的π倍”，產生猜想：圓的面積會不會就是小正方形的π倍呢？

接著，教師可以繼續追問：根據以前的方法經驗，你打算怎樣研究圓的面積？學生調動已有的方法結構，想到用“將未知變已知”來解決問題。這里，教師要大膽放手讓學生自己研究，牢記：失敗與成功是次要的，重要的是要讓學生經歷操作、感知，歸納、推理的過程。學生會把圓沿半徑等分成若干個近似的小三角形，教師要快速捕捉這個生成的學習資源，進行分享呈現，要盡可能全面地展示學生得出的各種情況（見圖2、下頁圖3、圖4）。

三、核心推進：關聯探究，發現數學本質

在核心推進環節，教師要舍得安排時間，針對學生的生成資源，開展深入的探究，調用學生已有的知識結構，進行解構重組；引導學生搜索腦中的思維模塊，找到新舊知識的關聯因素，有機地建立起聯系，進行推理歸納，重新建構新知。一方面，教師要引導學生了解數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義，了解課程內容和教學內容的安排意圖；另一方面，教師要引導學生強化對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構，即在諸多的信息中，有選擇性地進行加工，產生“同化”。

例如，在“圓的面積”一課中，教師可以從兩個層面進行分類有序地呈現與分享。首先，是等分的單位面積的累加；其次，是轉化后平面圖形與圓的對應關系。

這樣，學生從未知追溯已知，通過關聯因素，再從已知推理未知，全程參與，經歷了新知形成的全過程，在數學建模的活動中，明白了每個知識點的來龍去脈。

四、拓展延伸：循環進階，生長續學內容

在數學學習中，一個新知學完后，又將啟動學習下一個新知，就是這樣環環相扣，循環往復。因此，教師在課尾的最后環節，一定要留下3～5分鐘的時間來設計拓展延伸的習題，承上啟下，自然生長出下節課學習的新內容。這個習題應介于本節課與下節課內容的“中間地帶”。

例如，“圓的面積”一課的結尾可以設計這樣的拓展延伸題：你能用今天學習的知識嘗試計算下面各個圖形的面積嗎（見圖9）？

以五年級學生的認知水平，他們不難從整圓的面積推理出半圓的面積，再推理出[14]圓的面積及[116]圓的面積。教師可追問：如果再分一分，你還會算嗎？自然生長出下節課學習內容“扇形的面積”，下節課的學習難點也便不攻自破。

拓展延伸的問題設計很有講究，它不是讓學生簡單地思考加深，而是基于原有的數學模型，卻又無法滿足新問題的解決，為學生達成新的認知“平衡”。拓展延伸的問題又是一個“錨樁”，引領學生投入到下一個新知的學習中，讓課堂上學生的認知自然生長、使學生的思維螺旋上升。

總之，在課時學習活動中進行結構化設計，可以讓學生了解每個知識的前移后續，厘清新知形成與生長的細節，領會數學本質。教師要在結構化的活動中幫助學生形成表象，建立“圖式”，通過關聯因素實現知識的“同化”與“順應”，在思維進階中達到新“平衡”，并自然推進到下一個新知的學習，形成學習的循環。

參考文獻：

［1］單廣紅 .“童化”視野下數學轉化思想的滲透［J］.新課程研究，2021（1）.

［2］單廣紅 .心中有“數”：“童化”視域下學材資源重組建議［J］.遼寧教育，2023（1）.

（責任編輯：楊強）

課題項目：本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃課題“基于‘童化’視域下的小學鑲嵌式數學學習研究”階段研究成果。課題編號：D/2021/02/324。