構建方程求最值,數形結合探本質

廣東省汕頭市廣東汕頭華僑中學 (515000) 張應楷

條件最值問題由于涉及到的變量較多,而且條件與問題之間的關系并不明確.即使求解結束了,也會有巧合的感覺,本文以一道經典試題為例,探究該題的解答過程及命制原理.

一、試題及分析

二、解法呈現

圖1

評注：該解法構建了一條過定點的直線,且將所求式轉化為一個直角三角形的周長問題.該解法通過引入一個角度“θ”,將所有的變量通過θ進行表示,再利用三角函數的公式進行化簡,最后通過柯西不等式求得最值.

該解法二的本質是利用了直線的參數方程,但化簡以及柯西不等式的幾何意義并不明顯.為此,筆者試圖研究所求式的幾何意義進行求解.經過探究,筆者發現該問題與三角形的旁切圓有關,現展示如下:

圖2

三、變式探究

變式1的原理是將直角三角形斜邊所過的定點(2,1)改為(s,t),通過上面的分析可知,原問題的背景是直角三角形.接下來,我們考慮其他的三角形來構造變式.

圖3

變式2命制原理是以有一個角為120°的三角形為背景,其最長的邊恒過一個定點,然后求其周長的最小值.以此為基礎,我們可以考慮以任意角為背景的三角形.其次,其定點是通過張角定理[1]來發現的.如果均以該方式來命制變式則條件形式較為復雜,且變形方式也較為困難與突兀,為此,我們考慮如下直白的變式進行研究.

圖5