數學建模視角下與導數有關的不等式問題妙解路徑*

福建省永春縣教師進修學校 (362600) 鄭堅幟

第一類 構造F(x)=xnf(x)(n∈Z,且n≠0)函數模型

(1)若F(x)=xnf(x),則F′(x)=nxn-1f(x)+xnf′(x)=xn-1[nf(x)+xf′(x)]．若題干出現形如nf(x)+xf′(x)的條件,可以構造函數F(x)=xnf(x);

例1 (2021春·贛縣區校級月考)已知函數f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)是f(x)的導函數,且滿足f(x)>xf′(x),則不等式的解集為f(x2-1)>(x-1)f(x-1)．

例2 (2022春·鄒城市期中)已知奇函數f(x)是定義在R上的可導函數,且f(x)的導函數為f′(x),當x<0時,有2f(x)+xf′(x)<0,則不等式(x+2021)2f(x+2021)+4f(2)<0的解集為．

解析：當x<0時,2f(x)+xf′(x)>0,符合F(x)=xnf(x)模型.構造g(x)=x2f(x),當x<0時,g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)<0,∴g(x)在(-∞,0)上單調遞減①;∵f(x)是定義在R上的奇函數,∴g(x)=x2f(x)在R上為奇函數②,∴f(0)=0,g(0)=0,由①②得g(x)在R上單調遞減,∴(x+2021)2f(x+2021)+4f(2)<0(2)?(x+2021)2

評注：抓住2f(x)+xf′(x)結構特點,構造F(x)=xnf(x)型函數模型．構造函數g(x)=x2f(x),求導分析g(x)為單調遞減函數,將所求不等式轉化為g(x+2021)

第二類 構造F(x)=enxf(x)(n∈Z,且n≠0)函數模型

(1)若F(x)=enxf(x),則F′(x)=n·enxf(x)+enxf′(x)=enx[f′(x)+nf(x)]．若題干出現形如f′(x)+nf(x)的條件,可以構造函數F(x)=enxf(x);

評注：抓住f′(x)+2f(x)結構特點,構造F(x)=enxf(x)型函數模型．構造函數F(x)=f(x)e2x,結合已知導數關系可得F(x)單調遞增,然后結合函數圖象的平移及對稱性可求F(2),將不等式f(x)<2e-2x轉化為F(x)

例4 (2022春·遂寧期末)定義域為R的可導函數y=f(x)的導函數為f′(x),滿足f(x)>f′(x),且f(0)=3,則不等式f(x)<3ex的解集為．

(1)若F(x)=f(x)sinx,則F′(x)=f′(x)sinx+f(x)cosx．若題干出現形如f′(x)sinx+f(x)cosx或f′(x)tanx+f(x)的條件,可以構造函數F(x)=f(x)sinx;

(3)若F(x)=f(x)cosx,則F′(x)=f′(x)cosx-f(x)sinx．若題干出現形如f′(x)cosx-f(x)sinx或f′(x)-f(x)tanx的條件,可以構造函數F(x)=f(x)cosx;

A．a

C．b

與導數有關的不等式的客觀題,通過構造函數法總結的三個模型,不僅加深考生對不等式與導數知識點的認識與理解,又使其在構建模型時更加全面地考慮問題,避免其在以后的解題中走彎路,提高解題的正確性.因此,高中數學教學過程中,應該重視經典例題剖析,從明確問題、合理假設、搭建模型、求解模型、分析檢驗、模型解釋基本步驟滲透數學建模.在教學實踐中,不斷強化模型應用的條件,把握構建不同數學模型的關鍵點,解題少走彎路,達到化繁為簡,學以致用的目的.