圓錐曲線中兩類定值問題的等價(jià)刻畫

重慶市銅梁二中 (402560) 李 波

文[1]考察了圓錐曲線的一個(gè)定點(diǎn)問題:在圓錐曲線Γ上任取一點(diǎn)P,過P作兩條斜率分別為k1,k2的直線l1,l2,且l1,l2交Γ于A,B兩點(diǎn),若k1+k2(或k1k2)為定值,直線AB是否過定點(diǎn)?本文將探究?jī)深愵愃频亩ㄖ祮栴},并給出等價(jià)刻畫.

圖1

雙曲線和圓上有與性質(zhì)1完全類似的結(jié)論,即

性質(zhì)3 過點(diǎn)F(t,0)(t≠0)的兩條不同直線l1,l2交圓E:x2+y2=r2(r>0)所得的兩弦AB,CD的中點(diǎn)分別為P,Q,k1,k2分別是l1,l2的斜率,則

拋物線上的情況略有不同,即

性質(zhì)4 過點(diǎn)F(t,0)(t≠0)的兩條不同直線l1,l2交拋物線E:y2=2px(p>0)所得的兩弦的中點(diǎn)分別為P,Q,k1,k2分別是l1,l2的斜率,則