巧用曲線系探索一類斜率比值問題*

福建省泉州市第七中學(xué) (362000) 林景芳 林志敏

題目(2022年全國甲卷·理20)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時,|MF|=3．(1)求C的方程;(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β．當(dāng)α-β取得最大值時,求直線AB的方程．

分析：(1)y2=4x,過程略;(2)求α-β的最大值,關(guān)鍵是解決傾斜角β,α的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為尋找tanα,tanβ即kMN,kAB的關(guān)系.

本題涉及的是直線與拋物線問題,計(jì)算相對簡單,如果把曲線改為橢圓或雙曲線,計(jì)算量將大大增加,為了更好解決這類問題并加以推廣,本文著重介紹曲線系的解題方法.

評注：本題涉及的是蝴蝶型斜率比值為定值與直線過定點(diǎn)之間的關(guān)系,我們把問題一般化,便于探索其內(nèi)在聯(lián)系.

圖1

圖2

圖3

以上從曲線系的解題視角證明并推廣了一類斜率比值及定點(diǎn)問題,它也是解析幾何的熱點(diǎn)問題和常見模型,挖掘其內(nèi)在聯(lián)系并加以推廣,具有重要意義.實(shí)際上,本文得到的三個結(jié)論,也是蝴蝶定理和坎迪定理在解幾中的一個具體應(yīng)用.