一道拋物線聯(lián)考題的變式與推廣

湖南省長沙市南雅中學 (410027) 龍 偉

1 試題再現(xiàn)

題目(2023屆江西省“新八?！备呷蠈W期第一次聯(lián)考理數(shù)第8題)如圖1,拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,過F且斜率為1的直線交E于A,B兩點,線段AB的中點為M,其垂直平分線交x軸于點C,MN⊥y軸于N,若四邊形OCMN的面積等于8,則E的方程為( ).

圖1

A.y2=2xB.y2=4x

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系,由于M為線段AB的中點,所以運用“點差法”表示點的坐標,令直線MC的方程中y=0表示點C的坐標,然后應用三角形面積公式列方程求得p的值得解.

2 試題變式

若上述試題中所得拋物線的方程為已知條件,直線MC與直線AB垂直的位置關系不變,并將直線MC移至過點F,則有下面的若干變式并推廣一般性的結(jié)論.

變式1 已知拋物線E:y2=4x的焦點為F,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1,l2與分別交于A、B和D,H則|AB|+|DH|的最小值為( ).

(1) 盾構(gòu)隧道常見病害之間是相互聯(lián)系的，往往表現(xiàn)為多種病害同時存在，且隨著地鐵運營時間的增加病害亦會隨之加劇。其中，隧道不均勻沉降是導致產(chǎn)生其他常見病害的重要原因之一，也是判斷隧道是否穩(wěn)定的重要依據(jù)之一。

A.10 B.12 C.14 D.16

解法2：如圖2,E的準線與x軸交于G,過點A作準線的垂線于K1,AK2⊥x軸于k2.

A.64 B.32 C.16 D.10

變式4 已知拋物線E:y2=4x的焦點為F,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1,l2與E分別交于A、B和D、H,則四邊形ADBH面積的最小值為( ).

A.64 B.32 C.16 D.10

變式5 已知拋物線E:y2=4x的焦點為F,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1,l2與E分別交于A、B和D、H,若AB的中點為M,線段DH的中點為P,則△FMP面積的最小值為( ).

A.4 B.8 C.16 D.22

變式6 已知拋物E:y2=4x線的焦點為F,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1,l2與E分別交于A、B和D、H,若AB的中點為M,線段DH的中點為P,則直線MP恒過點( ).

A.(2,0) B.(3,0) C.(4,0) D.(8,0)

②若k=1或k=-1,則直線MP的方程為x=3,也過點(3,0).

綜上可知直線MP恒過點(3,0).故選B.

3 結(jié)論推廣

將上述各變式推廣到一般形式的拋物線,可有下面相應的結(jié)論.

結(jié)論1 已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l2,l2與E分別交于A、B和D、H,則|AB|+|DH|的最小值為8p.

結(jié)論1的證明仿照變式1的證明過程.

結(jié)論2的證明仿照變式1、2的證明過程.

結(jié)論3 已知拋物E:y2=2px(p>0)線的焦點為F,過F作兩條互相垂直的直線l2,l2,直線l2,l2與E分別交于A、B和D、H,則|AB|·|DH|的最小值為16p2.

結(jié)論3的證明仿照變式1、3的證明過程.

結(jié)論4 已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,過F作兩條互相垂直的直線l2,l2,直線l2,l2與E分別交于A、B和D、H,則四邊形ADBH的最小值為8p2.

結(jié)論4的證明仿照變式3的證明過程.

結(jié)論5 已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,過作兩條互相垂直的直線l2,l2直線l2,l2與E分別交于A、B和D、H,若AB的中點為M,線段DH的中點為P,則△FMP面積的最小值為p2.

結(jié)論5的證明仿照變式5的證明過程.

無論是同步教學還是在高考復習中,要常態(tài)化地指導學生通過對一些典型問題的探討和拓展,及時歸納、總結(jié)出一些常用的“二級結(jié)論”,這對于學生解題能力的提高和數(shù)學素養(yǎng)的提升是頗有裨益的.