一道人教A版教材習題的變式拓展

廣東省佛山市南海中學 (528211) 周鴻高

題目(選擇性必修第一冊P89習題2.4·題8)長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動,求線段AB的中點的軌跡方程,并說明軌跡的形狀．

事實上,此題說明了產生圓的另一種方法,即定長線段的兩個端點分別在夾角為直角的相交直線上滑動,線段中點的軌跡是一個圓．據此,若改變一些條件,其軌跡又是什么呢?筆者進行了一些變式拓展,得到如下一般性結論．

1．變式一 改變中點為定比分點

由此可知,當λ=1時,點P的軌跡方程為x2+y2=a2,表示一個圓;當0<λ<1時,點P的軌跡為焦點在x軸上一個橢圓;當λ>1時,點P的軌跡為焦點在y軸上一個橢圓．

2．變式二 改變直角為定夾角

問題2 長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在夾角為θ(0°<θ≤90°)的相交直線l1與l2上滑動,求線段AB的中點P的軌跡方程．

解析：由于問題1得到的軌跡方程是標準方程,容易討論軌跡,本題如何建系很關鍵．

圖1

3．拓展一 定夾角與定比分點

圖2

4．拓展二 改變相交直線為異面直線

圖3

參照問題3的解答,可求得點P的軌跡方程,從而可知點P的軌跡情況．

5．拓展三 改變兩條直線為直線與平面

例題(2018·佛山二模·理11)如圖4,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,點P、Q分別在底面ABCD、棱AA1上運動,且PQ=4,點M為線段PQ的中點,則當P,Q運動時,則線段C1M的長度的最小值為( ).

圖4

此題可變式如下: