助數學思維發展 促核心素養提升
——以GGB在問題解決中的應用為例

浙江省湖州市南潯高級中學 (313009) 劉太杰 劉定勇

《普通高中數學課程標準(2017年版)》強調“信息技術是學生學習和教師教學的重要輔助手段,為師生交流、生生交流、人機交流搭建了平臺,教師應注重信息技術與數學課程的深度融合,實現傳統教學手段難以達到的效果.”.GeoGebra(簡稱GGB)作為一款集代數運算、幾何作圖、數據處理等于一體的動態數學軟件在演繹思維的發展過程,助推思維的可感知、可發散、可視化,促進了核心素養的提升等方面發揮著日益重要的作用.

1 化繁為簡讓思維可感

案例1 已知函數f(x)=(|x-a|+b)·ln|x+a|,a,b∈R,若f(x)≥0在定義域上恒成立,則a-2b的值是( ).

A.-1 B.0 C.1 D.2

本題初看是含參恒成立問題,但由于參數較多,函數形式復雜,參變無法分離,但如果將函數f(x)分解為兩個函數之積,分別考查它們的圖像特征,便會豁然開朗.

幾何推演：GGB實驗探究

操作圖示思維過程創建兩個滑動條a,ba=1b=-3.8便于觀察兩個參數a,b對函數f(x)圖像的影響作出h(x)的圖像通過改變參數a的符號,發現函數h(x)關于直線x=-a對稱,且始終有兩個不同零點作出g(x)的圖像通過改變參數a的符號,發現函數gx 關于直線x=a對稱,通過改變參數b的符號,發現函數gx 的頂點變化規律通過滑動條探索g(x)·h(x)≥0的充要條件通過滑動條分別改變參數a,b的變化,發現只有當a=0,b=-1時g(x)·h(x)≥0才能恒成立,且此時可以看到經典切線不等式x-1≥lnx的身影,洞悉出題者的命題源頭

類題演練：已知f(x)=(|x|+a2-1)·ln|x+a|,a,b∈R,若f(x)≥0在定義域上恒成立,則a+b的值是________.

反思品味：對于上述復雜的含參函數恒成立問題,GGB展示了它在探索思路、展示圖像、發現源頭、讓思維可感知等方面發揮的巨大作用,讓抽象的函數問題變得形象起來,讓學生感知到思維的發展過程,為問題的解決指明了捷徑,提升了建模、推理、分析等素養.

2 另辟蹊徑促思維發散

思路探求：易知點P不但在圓C上,而且在以AB為直徑的圓上,于是可以聯想到兩圓的位置關系求解,此外,我們還可以從圓的參數方程、直線與圓的位置關系、GGB作圖分析臨界位置等方面入手處理.

幾何推演：GGB實驗探究

操作圖示思維過程創建滑動條mm=-1.2便于觀察以AB為直徑的圓的變化作出定圓C及以AB為直徑的圓D:x-m2 2+y-m2 2=m22觀察m的正負對圓心和半徑的影響,發現圓D始終過原點O,且圓C與圓D的圓心均在射線y=x(x>0)上,且PO∈[|CO|-2,|CO|+2],即|PO|∈[22,42]改變滑動條m的取值,觀察兩圓的位置關系,找到臨界情況當兩圓外切時圓D的直徑為PO(等于AB=2m)取最小值,當兩圓內切時圓D的直徑為PO(等于AB=2m)取最大值,所以,2m∈[22,42],因此,m∈[2,4],故選D.

類題演練：(多選題)已知點A(u+2,0),B(-u,0),若圓C:(x-4)2+(y-4)2=9上存在唯一的點P,使得PA⊥PB,則u的值可能為( ).

A．-9 B．-5 C．1 D．7

3 繪形繪色助思維可視

案例3 球體在工業領域有廣泛的應用,某零件由兩個球體構成,球O1的半徑為10,P,Q為球O1表面上兩動點,PQ=16,M為線段PQ的中點.半徑為2的球O2在球O1的內壁滾動,點A,B,C在球O2表面上,點O2在截面ABC上的投影H恰為AC的中點,若O2H=1,則三棱錐M-ABC體積的最大值是________.

分析：本題的難點在于空間圖形的位置理解與條件轉化,通過GGB的3D作圖功能可以將抽象的問題具體化、形象化,有助于加深對問題的認識與理解.

圖1

圖2

GGB實驗：(動態立體演示)

操作圖示思維過程據題意分別作出三個球的空間模型可以發現有兩個同心球,兩個內切球先探究△ABC的面積取最大值的條件,再讓點M在半徑為6的球面上運動,觀察三棱錐M-ABC的高h取最大值的情況,最后將所有的空間幾何體按任意方向旋轉觀察它們的相對位置由于動點較多,采取各個擊破法,即先考查三棱錐M-ABC的底面面積的最大值情況,再考慮高h的最大值情況;通過分析可知,△ABC是斜邊為定值的直角三角形,易知當它為等腰直角三角形時面積最大;當M,O1,O2,H四點共線時,點M為到平面ABC的距離最大,于是利用體積公式便可輕松求解.

4 反思與展望

本文以GGB在問題解決中的應用為例,從可感知、可發散、可視化等方面探索了它在演繹思維的過程、助推思維的發展、促進核心素養的提升等方面發揮的重大作用.

GGB在教學與科研中的應用日益廣泛,在輔助日常教學時能夠啟發學生思維、簡化運算過程、增加課堂靈動性.