一道圓錐曲線題的解法探究與推廣*

聊城大學數學科學學院 (252000) 徐茂林 房元霞

數學的問題從解法來分就是兩類:一類方法唯一,多題一解;一類方法兩種或兩種以上,一題多解.多題一解從通性通法的角度考察對知識的本質性認識;一題多解則要求學生打破常規刻板的解題思路,從不同的思維方向對同樣條件進行整合.多題一解重視學生基礎,而一題多解,則會培養學生的發散性思維.下文以一道求定點問題為例,探求一題多解奧秘.

1 原題呈現

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)若橢圓上一頂點A(-2,0),直線l:y=kx+m與C交于兩點P、Q,且AP⊥AQ,試判斷直線l是否過定點?若是,求出此定點的坐標;若不是,請說明理由.

2 解法探究

思路1 若直線l過定點,可看作過該點的直線系,所以直線l在y軸上的截距m隨斜率k的變化而變化.因此,找到二者的變化規律,確定過定點的直線系方程,即可找到定點.

思路3 前兩種解法以直線的一般式方程進行計算,或最后回歸到一般式方程;回想教材中直線方程有幾種不同的形式,我們思考能否從直線方程的另一形式運算求解?分析后發現,應該可以利用兩點式,P、Q是直線l上的兩點,從直線l的斜率或傾斜角兩個角度求出定點.

思路4 在高中階段,二次曲線系屬于拓展內容,圓、橢圓、雙曲線、拋物線都屬于二次曲線,兩條直線也被稱為退化的二次曲線.從兩條直線出發,我們能否用類似曲線系的方法,求出定點?

3 推廣探究

若將題目中A點一般化為橢圓上任意一點,并將兩直線AP、AQ的斜率之積一般化,可將結論推廣至雙曲線與拋物線.

圖1

圖2

圖3