一類三角函數(shù)最值問題的探究

福建省南安第一中學 (362300) 陳佳祥

三角函數(shù)最值問題是歷年來高考考試中的重點問題,具有涉及范圍廣、綜合性強、靈活性大等特征.因此在解決三角函數(shù)最值問題時,需要掌握三角函數(shù)的周期性、有界性、單調性等性質,并靈活應用三角恒等變換,結合其函數(shù)最值特點進行有效地分析.本文主要討論形如(1)f(x)=cos2x·sinx;f(x)=cosx·sin2x;f(x)=sinx·sin2x;f(x)=cos2x·cosx;,(2)f(x)=sin3x+3sinx等函數(shù)的最值.

1 問題本質

由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項式．一般地,存在一個n(n∈N*)次多項式Pn(t)=a0tn+a1tn-1+a2tn-2+···+an(a0,a1,a2,···,an∈R),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項式Pn(t)稱為切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多項式．運用探究切比雪夫多項式的方法可得cos2x=P2(cosx)=2cos2x-1,記作P2(t)=2t2-1,cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx=(2cos2x-1)cosx-2sin2xcosx=(2cos2x-1)cosx-2(1-cos2x)cosx=4cos3x-3cosx,所以P3(t)=4t3-3t,同理可得sin3x=3sinx-4sin3x.

因此問題(1)和(2)本質都可以展開以cosx(或者sinx)的三次多項式,三次函數(shù)擁有的對稱性、單調性等性質,因此這類三角函數(shù)的最值是值得研究.

2 基于“換元法”的導數(shù)法求解三角函數(shù)最值

當三角函數(shù)表達式始終只存在正弦函數(shù)、余弦函數(shù),且函數(shù)最高次數(shù)為“3”時,可通過整體換元的方法將其轉化為一元三次函數(shù)的最值問題,再結合導數(shù)單調性研究最值.

例1 求函數(shù)f(x)=cos2xsinx在R上的最大值.

評析：該問題在倍角公式cos2x=1-2sin2x的基礎上,通過化歸轉化的思想,有效地整理與變形,構成只含有sinx的三次多項式的函數(shù),然后換元為一元三次函數(shù)形式,需要注意換元的取值范圍,再借助一元三次函數(shù)導數(shù)單調性研究最值.

3 基于均值不等式求解三角函數(shù)最值

利用均值不等式求最值,所需的條件可概括為“一正、二定、三相等”.當這些條件不完全具備時,就需要湊“定和”或“定積”的技巧,使其具備.同角三角平方和關系式sin2x+cos2x=1其作為隱含條件,依據(jù)三角函數(shù)“定和”的特征,求三角函數(shù)最值有充分地體現(xiàn).

例2 設x為銳角,求函數(shù)y=sinx·sin2x的最大值.

例3 設ΔABC的內角A、B、C,求cosA(sinB+sinC)的最小值.

4 基于琴生不等式求解三角函數(shù)最值

例4 求函數(shù)f(x)=sin3x+3sinx的值域．

例4有如下更一般的形式:

變式2求f(x)=sinnx+nsinx(n∈N+)的值域．

對于三次多項式的三角函數(shù)最值問題,一般解題思路是:合理的三角變換或是代數(shù)換元,化歸為三角函數(shù)或者三次函數(shù)類型,最后利用導數(shù)和基本不等式或琴生不等式方法求最值.引導學生掌握三角函數(shù)的單調性、有界性、周期性等性質,再通過函數(shù)的最值問題與導數(shù)和不等式知識的綜合運用,就能有效地解決三角函數(shù)的最值問題.