一道聯考試題的命制背景探究與推廣

廣東省佛山市南海區南海中學 (528200) 黃志斌

2023年3月份廣東省燕博園聯考的第21題解幾壓軸題是證明兩組向量的數量積相等,筆者探究發現,該題其實是用向量形式包裝的兩組線段之積相等問題.對要證明的問題進一步研究發現,該題有一個圓錐曲線的性質結論為背景.

(1)證明:直線l與橢圓C相交于兩點,且每一點與P的連線都是橢圓的切線;

筆者探究發現,該試題的背景是如下命題:

這一結論結構對稱,是一個非常漂亮的性質,下面給出證明.

圖1

命題同樣成立,得證.

繼續探究還發現,該命題還可以推廣到雙曲線和拋物線.

命題3 過拋物線y2=2px(p>0)外一點P(x0,y0)作它的兩條切線(存在兩條切線的條件下),切點分別為M、N,再作過P點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,與直線MN相交于Q點,則|PA|,|PB|,|AQ|,|QB|滿足如下關系|PA|·|QB|=|PB|·|AQ|.

上述命題證明仿命題1,請讀者完成.