基于MPC的永磁同步直線電機位置控制*

徐英振 ， 廖雪松

（1.包頭長安永磁電機有限公司，內蒙古 包頭 014030；2.內蒙古自治區先進永磁電機及其控制技術企業重點實驗室，內蒙古 包頭 014030）

在一些特定領域需要電機提供精準的位置控制能力，目前比較有效的方式是采用基于MPC的永磁同步直線電機。永磁同步直線電機在很多領域都有非常廣泛的應用，尤其是借助尖端數控技術，可以使電機在多個技術方面得到大幅優化和提升，是永磁直線電機研發的一個關鍵方向[1]。相比傳統直線電機，基于MPC的永磁同步直線電機位置控制在動態控制和穩態精度方面實現了較大提升，相關課題的研究對于整個永磁同步直線電機的應用發展有非常顯著的促進作用。

1 永磁同步直線電機位置控制概述

位置控制精度是直線電機性能的重要指標，在傳統直線電機中，其位置控制以級聯型三閉環方式實現，就是利用PI控制器完成對位置的準確控制[2]。級聯型三閉環PI控制器應用方便，有較強的適用性，但動態響應效率較低，且位置控制的穩態精度嚴重受限。因為這些問題的存在，傳統直線電機在高端應用領域難以得到更大空間。而近年來，隨著高性能微型計算機技術在永磁直線電機研發領域的快速發展和充分運用，模型預測控制（MPC）被更多地用于電機控制，并非常有效地改善了系統的快速響應能力。

模型預測控制是一項非常有開發潛力的技術，通過與不同的應用需求相結合，可以演化成多種形式。就目前應用而言，電機控制領域的MPC主要包括兩種控制模式：一是FCS-MPC，即所謂的有限集模型預測控制；二是CCS-MPC，即所謂的連續集模型預測控制[3]。課題組所討論的永磁同步直線電機位置控制是基于連續集模型預測控制的應用設計，其位置控制方式非常有特點，尤其是在動態性能和穩態精度性能方面表現出色，由此可以看出MPC對于電機控制性能的提升升級價值[4]。

2 基于MPC的永磁同步直線電機系統數學仿真模型的建構

為更有效分析以MPC為技術基礎的永磁同步電機在位置控制中的功能和作用，需要建立與設計相對應的數學仿真模型，通過仿真來確定永磁同步直線電機的工作狀態。基于仿真結果，進行實際的電機設計，以獲得所要性能的永磁同步直線電機[5]。為此，首先需要明確其工作機理，其次，還要對數學模式進行離散化處理，進而為電機設計奠定理論基礎。

2.1 永磁同步直線電機模型工作機理的數學解析

為研究基于MPC的永磁同步直線電機運行狀態下位置控制中的具體機理，需要明確其實際工作原理。總的來說，永磁同步直線電機位置控制原理與PMSM比較類似，因此，其數學模型的建立也可以采用與PMSM基本一致的函數表達式，用于解析其各變量之間的關系。具體分析過程中，可采用兩相同步旋轉坐標系，在該坐標系中對電壓方程進行建構，其函數表達式為：

式（1）基于兩相同步旋轉坐標系對電壓方程分別進行求解，其中，ψd被設定為直軸磁鏈，ψq被設定為交軸磁鏈，ψd和ψq的求解方程分別為：

在式（1）、式（2）和式（3）中，ψmf為永磁體磁鏈，ud為直軸電壓，uq為交軸電壓，id為直軸電流，iq為交軸電流。為獲得更加準確的仿真數據，需要引入電角速度，用ωe來表示。對于PMLSM，需要充分考慮動子位置的影響，因為動子運動距離達到對極，則三相電流就會發生一個周期的變化，基于此，可以計算電角速度，其計算公式為：

式（4）中，v為動子速度，τ為永磁體極距。進而可以求解PMSM轉矩方程，其函數表達式為：

式（5）的轉矩方程中，Tm為永磁轉矩，Tτ為磁阻轉矩。通過分析該轉矩方程，不難發現，對PMLSM的求解過程可以等價于對PMSM的徑向展開處理，在這一基礎上，就可以進一步推導PMLSM的推力方程，該推力方程可以通過PMSM轉矩方程進行變換來獲得。其方程的定義式為：

將系統相關運行參數代入式（6）中，R為電機定子內徑，根據其結構特點，滿足2πR=2pτ。對R結果的求解算式與其他方程進行聯立，將這一函數關系代入式（6），經過變換處理，能夠進一步獲得PMLSM的推力方程，其函數表達式為：

如果考慮永磁同步直線電機為平板式永磁同步直線電機的實際情況，此時，存在Ld=Lq的平衡條件，基于此，可以對式（7）進行進一步的化簡。并得到如下的表達式：

在此基礎上，對永磁同步直線電機的運動方程進行求解，其函數表達式為：

式（9）的運動方程中，所涉及的函數變量包括動子質量、運動速度、電磁推力、擾動負載和黏滯摩擦系數，并分別表示為M、v、Fe、Ft和B。在相關變量確定條件下，就可以對整個永磁同步直線電機的運動方程進行分析，進而針對位置控制的相關性影響因素加以具體討論。

2.2 永磁同步直線電機數學模型離散化處理

對于永磁同步直線電機的數學模型建立，需要對模型采取必要的離散化處理，其處理方法包括多種選擇。基于本文所分析和討論的實際情況，需要兼顧直線電機的精度以及在具體運營環境的適用情況，主要選擇了一階前向歐拉差分法，通過該處理方法對PMLSM模型進行離散化處理，在位置控制精度以及工作穩定性方面都會有較好的仿真效果[6]。在實際的離散化處理中，需要設定一些基本條件，對于采樣周期T，假設T充分小，在某一確定的k時刻，存在如下等式關系：

將式（10）與式（1）和式（9）進行聯立，經過化簡求解，就可以推導得出永磁同步直線電機工況下的離散化數學模型。將相關狀態變量依次代入，永磁同步直線電機數學模型離散化狀態下的空間方程表達式為：

將式（11）、式（12）和式（13）聯立，可以建構形成基于MPC的永磁同步直線電機數學模型，能夠通過該模型完成對位置控制等相關問題的分析[7]。式（13）中，將Kf定義為推力系數，用于對式（12）方程的求解。

3 模型預測控制原理及控制器設計

永磁同步直流電機的位置控制，需要利用對MPC控制器的設計來實現，其中，通過連續集模型進行預測控制是整個設計的最重要環節。有必要對其控制原理進行解讀，并在此基礎上探討控制器設計的具體內容。

3.1 連續集模型預測控制原理

課題組的主要目的是討論用于優化位置精確控制的永磁同步直線電機MPC控制器的設計，對于直線電機的模型預測控制（MPC）設計而言，其目標主要是考慮對未來控制變量軌跡的準確計算，并基于計算結果對系統輸出進行優化[8]。整個優化的過程通過一個有限時間窗口來具體實施，而對時間窗口進行優化的同時也可以完成對系統信息的修正和調整。

3.1.1 系統增廣模型分析

基于狀態空間對永磁同步直線電機MPC控制器增廣模型進行設定，其空間模型的表達式為：

式（14）中，x(k)、u(k)、d(k)分別代表永磁同步直線電機狀態向量、系統輸入向量和未知擾動項；式（15）中的y(k)為系統輸出向量；A、B、C均代表系數矩陣，其下標d則意味著系統模型的特征。

在實際設計中，需要確保并充分實現永磁同步直線電機MPC控制器的運轉穩定性，需要盡量將系統未知擾動消除，以防其對預測輸出造成的干擾，電機系統魯棒性因此得到充分提升。可以對控制器的設計選用增量形式，如果控制周期比較小，可以將短時間內系統擾動看作是穩定不變的常量，進而獲得整個直線電機控制器系統的增量模型。增量模型要實現預測輸出要求，在實際處理中可以將輸出向量與增量向量進行聯立，并引入一組新向量，進而能夠對原電機系統進行向量擴展，并形成增廣模型。

3.1.2 系統優化

按照通常情況下的處理方式，直線電機模型系統的代價函數選擇以誤差及輸出增量為變量的二次函數，此時，如果其參考軌跡已經被給定，則代價函數等式自變量項目可以提供滿足預測與給定輸出誤差的條件，并能夠有效驗證輸出增量的數值。在系統優化過程中，需要充分考慮權重因子的影響，因為整個系統模型屬于典型的對角線矩陣形式，其維數要保持高度統一。這樣設計系統的目的就是要避免因輸出增量太大造成整個系統的穩定性難以控制。

如果此時選擇零矩陣形式，則該控制器系統的使用目的是要確保最小的誤差。為滿足代價函數實現最小值目標，可以在對代價函數進行偏導數求解時為0。按照這一過程重復進行，就可以得到系統在任意時刻MPC控制器的具體輸出狀態[9]。課題組討論的前提條件是預測輸出時采用增廣模型，這種情況下，控制器輸出就是輸出增量不斷累加的結果，這可以等價于閉環系統中結合積分運算，能夠有效防止各種穩態誤差，同時對未知擾動項的干擾也有很強限制作用，系統表現出顯著的魯棒性。

3.2 永磁同步直線電機MPC控制器設計

課題組所述的永磁同步直線電機模型為典型的連續集預測模型，其系統設計主要選擇級聯型結構，該系統結構在電流環控制器輸出電壓作為定軸電壓進行處理時會比較方便，并通過SⅤPWM進行調制，再經過兩個電平逆變器進行逆變處理，最終輸出三相電實現對PMLSM的驅動。永磁同步直線電機通過離散化處理形成的狀態空間方程中，為簡化離散過程而采用增廣狀態向量，系統電流環的增廣模型系數會以矩陣形式建立[10]。通常情況下，永磁同步直流電機逆變器會以10 kHz的開關頻率運轉，此時，離散控制系統對于任意t時刻的采樣數據其結果應該與t-1時刻數據相同。通過計算獲得u(t)在t+1時刻的數據，需要與t-1時刻數據保持一致才可以控制被控對象。

基于此，對預測步長的選取最小為3，而速度環的帶寬為電流環帶寬的1/10。按照這一思路，對電流環預測補償的選取可以為10，進而獲得最優輸出。為此，還要對MPC控制器的輸出電壓進行必要控制，在不同的控制策略下，電壓分量可以形成對輸出的有效約束和限制作用。

4 系統仿真驗證

利用MATLAB搭建PMLSM連續集模型預測控制仿真模型，電機及系統各仿真參數如表1所示。

表1 PMLSM連續集模型預測控制仿真模型仿真參數

通過系統仿真，對以CCS-MPC為基礎的直線電機控制器位置響應情況進行分析，可以發現電機控制優勢非常顯著，不僅響應速度快，而且定位精度高。進一步對MPC控制器的魯棒性進行驗證，通過綜合效果比較得出，相比傳統直線電機，基于MPC控制器的永磁同步直線電機的魯棒性表現更好。

5 結論

綜上所述，永磁同步直線電機要實現更大的應用空間，需要解決很多具體的技術問題，其中，位置控制是非常關鍵的一項內容。課題組深入分析了基于MPC的永磁同步直線電機的位置控制，對其工作原理和功能實現進行了較為細致的闡述，在此基礎上，建構了數學模型，并具體分析了MPC控制器設計的相關內容。最后，通過系統仿真，驗證了該MPC控制器在位置控制方面的良好性能。課題組所提出的分析方法和設計過程，具有重要的現實意義。