基于“三會”的“后建構”課堂教學實踐研究*
——以“二次函數圖象背景下線段的最值問題”專題復習為例

? 無錫市東絳實驗學校 毛巾鈞 薛 鶯

1 引言

《義務教育數學課程標準(2022年版)》提出,數學課程要培養的學生核心素養主要包括三個方面,即會用數學的眼光觀察現實世界,會用數學的思維思考現實世界,會用數學的語言表達現實世界(以下簡稱“三會”).“后建構”課堂教學,是指在建構主義和后結構主義指導下,在新知教學結束后,解構學生已有的知識,使之被學生重新認知和接受,并在新的認知情境下進行重組和再構,形成新的認知結構,建構更為完整的知識結構、技能結構、思維結構和素養結構的課堂教學.

筆者以一節市級公開課“二次函數圖象背景下線段的最值問題”專題復習為例,探究基于“三會”的“后建構”課堂教學模式,以“四基”“四能”為具體目標,借助幾何直觀抽象研究對象,借助邏輯運算推理規律聯系,促進學生數學高階思維的發展.

2 課堂實錄

2.1 開門見山,引入課題

師:如圖1,這是一條什么曲線?

圖1

生:拋物線.

師:它是我們學過的哪種函數的圖象?

生:二次函數的圖象.

師:我們都知道,線由無數個點構成,如圖1,在拋物線上任取一點,該點在拋物線上運動的過程中,會產生一些特殊的結論,比如,該點運動到圖象的最高處時,如何?

生:函數值最大.

師:此類最值問題我們在二次函數圖象與性質的研究中已經解決.我們研究問題往往遵循從簡單到復雜、從單一到多個、從特殊到一般的原則.如果動點個數從一個增加到兩個,位置從特殊到一般,那么兩個動點構成的線段長度是否存在最值?

師:我們以前也研究過線段的最值問題,即線段的兩個端點一定一動時,是如何解決的?

生:看動點的運動軌跡.如果軌跡是直線,那么利用垂線段最短就可解決;如果軌跡是圓弧,那么利用兩點之間線段最短即可解決.

師:回答得很好.那么如果兩個端點都是動點,該如何解決呢?

生:兩個動點的軌跡分別是什么呢?

師:好問題,下面請我們一起來研究一個動點在拋物線上,另一個動點在直線上,構成的線段的最值問題.

2.2 點線到面,探索新知

【一個點】

問題1如圖2,請在x軸上方拋物線上找一點,使它到x軸的距離最大?最大值為多少?

圖2

(小組討論,分組發言,生生互動.)

師:回顧解決此問題的過程,你是如何得到這個點的?

生:觀察,看出來的.

師小結:通過幾何直觀,同學們找到了二次函數圖象上的最高點到x軸的距離最大.問題1是研究一個點到一條直線的距離的最值,本質上是研究兩個動點(一個點在拋物線上,一個點在直線上)形成的線段的最值問題.幾何直觀幫助我們確定了數學研究對象,也初步讓我們體會到“當點在某些特殊位置時,線段可能產生最值”.

【兩個點】

問題2如圖3,連接BC,P為直線BC上方拋物線上一動點,過點P作PH平行于y軸,交直線BC于點H,求線段PH的最大值.

圖3

出示問題2后,學生根據條件獨立思考.

師:能用解決問題1的方法來解決這個問題嗎?請大家試試看.

生:可能當點P在頂點處時,PH最大.

師:看來很多同學有不同意見,幾何直觀不是那么容易確定了,怎么辦呢?

生:要證明.

師:很好,這就是我們比較熟悉的邏輯推理.不管是否在頂點處取得最大值,都需要說理,數學得有理有據,這就是數學的嚴謹性.

生:如果不在特殊位置,那么怎么確定點P在何處PH最大?

師:推理只有幾何才有嗎?別忘了,函數本就體現了數學中的一個非常重要的數學思想——數形結合,即代數與幾何的結合,同學們何不試試代數推理呢?

生:點可以用坐標來表示,那么線段長度也可以用代數方法來表示.

師:聯想得非常好!請同學們按照此思路一起試試吧.

…………

師小結:問題2與問題1本質上是一樣的,都為兩個動點(一個點在拋物線上,一個點在直線上)形成的線段最值問題.不同之處在于,問題1借助幾何直觀就容易解決,而問題2用坐標來刻畫點,用代數式來表示線段的長,然后運用求二次函數最值的方法來解決,這就是運用代數運算進行邏輯推理.類比問題2,你能改變條件“PH平行于y軸”,其余條件不變,提出一個有關線段最大值的問題嗎?并嘗試解決.

變式1如圖4,連接BC,P為直線BC上方拋物線上一動點,過點P作PG⊥BC,垂足為G,求線段PG的最大值.

圖4

變式2如圖5,連接BC,P為直線BC上方拋物線上一動點,過點P作PT平行于x軸,交直線BC于點T,求線段PT的最大值.

圖5

變式3如圖6,連接BC,AC,P為直線BC上方拋物線上一動點,過點P作PM∥AC,交直線BC于點M,求線段PM的最大值.

圖6

師:我們解決問題往往遵循從簡單到復雜的原則,遇到新問題時先想想,是否有解決此類問題的經驗可以借鑒,或者是否可以將新問題轉化為已經解決的問題……

師小結:通過轉化很容易解決這三個變式問題,即運用代數運算和邏輯推理找到線段PG,PT,PM與線段PH之間的關系,將所有問題都轉化為求線段PH的最值問題.當然,類比思想也是很重要的數學思想方法,通過這三個變式問題的類比提問和轉化解決,更能感受到數學的妙不可言.

【三個點】

問題3如圖7,P為直線BC上方拋物線上一動點,你能提出一個與三角形有關的最值問題嗎?并嘗試解決.

圖7

…………

師:同學們提的問題都很不錯,課后可以進一步研究.現在我們以求解△PBC面積的最大值為例,探求解決問題的方法.

生齊答:轉化為求線段PH的最大值.

師小結:很好,同學們已經學會了轉化這一方法,線段PH的最值就是解決今天一系列問題的數學模型,運用這一模型可以解決很多類似的問題.

2.3 回顧總結,建構結構

師生共同完善結構圖,厘清脈絡,建構結構,如圖8.

求線段最值

師:回顧本節課所學,你有哪些體會?

生:本節課研究的很多問題都可以轉化求線段PH的最值問題.

師:是的,這就是數學模型的好處,可以用它解決一些未知問題.對于本節課的結構圖,有什么體會嗎?

生:通過結構圖明確了求線段最值的方法和本節課所涉及的數學思想.

師小結:很好,這既是知識結構,也是方法結構,也蘊含了思想結構.通過本節課的學習,也擴充了線段最值的求解方法,同學們要及時整理、歸納、總結、完善自己原有的知識方法等,形成新的方法結構體系,以更快速地解決后續問題.

3 基于“三會”核心素養的教學模式

3.1 會用數學的眼光觀察現實世界——借助幾何直觀抽象研究對象

會用數學的眼光觀察現實世界就是通過對基本數量關系與空間形式的觀察,學生能夠直觀理解所學的數學知識,發現基本的數學研究對象及其所表達的事物之間的簡單聯系與規律.本節課的定位是專題復習課,屬于后建構課型之一.本節課的內容選擇了二次函數圖象背景下線段的最值問題,將線段的最值問題轉化為點的位置的直觀變化或點的坐標的數量變化,實則函數圖象上點的位置的“直觀變化”與由函數表達式確定的“數量變化”為內在的對應關系.明確此研究方向之后,從點入手,通過幾何直觀抽象出具體的數學研究對象,即研究點在拋物線上運動時產生的線段的最值.在課堂引入環節和“一個點”的研究中,借助幾何直觀確定當點在某些特殊位置時能夠確定線段的最值,引出本節課的研究對象——二次函數圖象背景下線段的最值問題,落實了會用數學的眼光觀察世界.

3.2 會用數學的思維思考現實世界——借助邏輯運算推理規律聯系

運算作為數學的一種基本功,是義務教育階段的核心內容.教學中要幫助學生感悟代數運算中的數學思想,如數軸、平面直角坐標系中的數形結合思想等.本節課中問題2“兩個點”的設計與解決過程,形式上與問題1“一個點”一脈相承,作為本節課的重難點,旨在引導學生運用邏輯推理和代數運算進行演繹推理,在此基礎上尋找事物之間的規律和聯系,即會用數學的思維思考現實世界.從合情推理出發到演繹推理證明,從代數運算求解到邏輯推理轉化,都是“思考”的體現,數學的思維正是體現于此.后建構課堂教學,以變式問題為抓手,以思維的拓寬為表現,層層深入,打破常規思維的邊界,重組并建立新的方法結構和思維結構,真正達到“后”建構之效,發展學生的“四基”和“四能”,從而進一步發展數學核心素養.

3.3 會用數學的語言表達現實世界——借助數學模型解釋解決未知問題

數學語言由數學的基本概念、符號表達、運算規則、形式邏輯、模型構建等基本元素組成.數學語言主要是通過數學模型來呈現,同時借助數學符號也可以幫助學生更好地理解和構建數學模型,從而揭示數學的性質、關系和規律.本節課的問題3“三個點”的問題,主要研究由三個點形成的三角形的周長或面積的最值.以開放式的問題展開,借助已學知識方法以及數學活動經驗等,進一步發展學生提出問題、分析問題、解決問題的能力.會用數學的語言表達現實世界,即充分運用已有數學模型解決未知問題,數學模型是數學語言的關鍵體現.后建構課堂教學的總結環節尤為重要,以知識結構、方法結構、思想結構為顯性結構進行呈現,素養結構為隱形結構包含其中,這一結構圖隨著課堂進度的推進逐步完成并完善,伴隨著方法的優化整合、思想的深入體會以及素養的逐步提升.運用數學語言表達現實世界,即借助數學模型解釋解決未知問題,讓核心素養真正落地呈現.