一元二次方程教學實踐中的逆向思維研究

? 白銀市第十一中學 金炳瑋

數學教學離不開思維能力的培養,而學生思維能力的強弱在一定程度上制約著教學效果的提升.因此,培養學生的思維,不僅對學生的學習,而且對教師的教學都將產生積極影響.本文中以逆向思維的實踐為研究內容,嘗試在厘清思維點及其正向、逆向變式的基礎上探究逆向思維的培養方法.

1 逆向思維及其內涵理解

根據思維方向的差異,可將思維分為正向思維與逆向思維兩種.正向思維是常規思維,與知識的形成方向保持一致,體現為習慣性思維,具有普遍性[1].逆向思維常被認定為創造性思維,與常規思維相反,是一種求異思維.

首先,教師對學生逆向思維進行培養,既是提升學生數學核心素養的表現,也是協助學生調整心理狀態的過程,甚至可以讓學生的心理狀態得到重建.在教育領域,思維和心理一直是兩個相互影響、相互依存的對象.思維的培養影響學生心理的發展,如培養逆向思想能提高學生分析和解決一元二次方程及其實際應用問題,增加學生自信心、成就感等.同時,心理的成熟程度也會影響思維培養的效果,如對于心理不夠成熟的學生,他們的逆向思維培養相對更加困難,對一元二次方程的逆向理解與應用不夠理想.

其次,正向思維和逆向思維在哲學上既是對立的,也是統一的,既可作為單獨的個體,又能相輔相成[2].正向思維的習慣性、普遍性使得在分析一部分問題時容易出現片面性錯誤,而逆向思維可以有效彌補正向思維的這一局限性.因此,從正向思維出發培養學生的逆向思維,能讓學生找到更多不同的解決問題的途徑,讓思維得到發散,進而更全面、更牢固、更熟練地掌握知識.只有這樣,才能靈活運用知識創造性地解決問題,這就是“熟能生巧”.

2 一元二次方程課堂實踐逆向思維點例析

教師在培養學生的逆向思維時,需找準思維點,并在實踐中發揮其基礎性作用.下面借助例題進行分析.

2.1 定義

例1( )是關于a的一元二次方程.

A.3a=5a-1

B.3a2+6a=(a-1)(3a+4)

D.a2-2a+1=0

解析：根據定義,一元二次方程中未知數的最高次數為2,所以選項A錯誤;選項B中(a-1)(3a+4)運算后雖有3a2,但與等式左邊3a2抵消了,所以選項B中的方程實際并無二次項;選項C的未知數在分母中,與定義不符,排除.故選項D正確.

例2已知關于a的方程(x-3)a|x|-1+6a+1=0是一元二次方程.求x的值.

解析：根據一元二次方程的定義,得x-3≠0,且|x|-1=2,所以x=-3.

例1是正向考查一元二次方程的定義,比較簡單,主要抓住一元二次方程的定義及幾個應注意之處,如二次項系數不為零、未知數次數最高為2等.例2是逆向考查,學生在計算“|x|-1=2”時,忽略排除x≠3.事實上,例2中有一個隱含條件,那就是“二次項系數不為零”,它極易被忽略.

2.2 求方程的根

例3一元二次方程x2-4x=0的根是( ).

A.x1=0,x2=4 B.x1=0,x2=-4

C.x1=1,x2=-4 D.x1=-1,x2=4

解析：根據一元二次方程的根的求法,可先將x2-4x因式分解為x(x-4),于是有x(x-4)=0,最后解得x1=0,x2=4.故選擇答案:A.

例3是利用一元二次方程根的定義求根,而例4是已知一元二次方程的根求某個字母的值,前者是正向思維,后者是逆向思維.雖然這兩個例題的難度不大,但例4中的逆向思維,尤其是解關于a的一元二次方程有點難度.

2.3 根的判別式

例5對一元二次方程x2-x-1=0根的情況判斷正確的是( ).

A.有兩個不相等的實數根

B.有兩個相等的實數根

C.只有一個實數根

D.無實數根

解析：由已知可得Δ=5>0,所以一元二次方程x2-x-1=0有兩個不相等的實數根.

故選答案:A.

例6如果關于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有兩個不相等的實數根,求k的取值范圍.

例5是正向思維題,比較簡單,且直接;例6是逆向思維,需根據一元二次方程根的情況反向計算出系數k的取值范圍.

2.4 根與系數的關系

A.-1 B.0 C.2 D.3

故選答案:D.

例7是正向思維,已知一元二次方程,求與兩根之和或兩根之積有關的代數式的值.例8是逆向思維,已知與兩根之和或兩根之積有關的代數式的值,求方程中待定字母的值.

3 總結

思維及數學思維的培養一直是教師教研的重要課題.在培養學生的逆向思維時,筆者認為需注意以下三個方面.

首先,在培養學生的逆向思維時,及時關注學生的心理狀態.例如,在講解例2、例4、例6、例8時,多注意學生上課狀態的變化,尤其是后進生的學習狀態.如果在面對逆向思維問題時學生的積極性不夠,那么建議從正向思維題進行遷移或引申,這樣有利于降低問題難度,便于學生接受.

其次,在培養學生的逆向思維時,不能忽視正向思維的基礎性地位.例如,在引入例2、例4、例6、例8時,要從正向思維點的四個例題(即例1、例3、例5、例7)出發,逐步展開和深入,循序漸進.

最后,培養學生的逆向思維時,還需注重學生發散思維的培養.逆向思維和發散性思維都是由正向思維出發,但二者有明顯的不同.逆向思維與正向思維相對,且逆向思維的“落腳石”是正向思維.而發散性思維是由正向思維無限“發散”,形成“放射狀”思維,這種思維更靈活,對學生的素養要求更高.

例如,例7是正向思維,例8是逆向思維,二者是相似的題型,只是將“條件”與“結論”互換了.在解決問題時,例8中的逆向思維最終會走向例7中的正向思維這一“落腳石”.但是,如果命題者進行如下命題,則體現了發散性思維:

關于x的方程x2+2kx+k2-2k+1=0有實數解,其中k

這樣命題不僅涉及的知識面廣,考查的力度更大,而且對學生的發散性思維有更高的要求.因此,教師也注意對學生發散性思維的培養.

總之,逆向思維的培養需要教師在教學上注意策略的應用,不僅要注重正向思維的基礎性,也要找到正向思維過渡到逆向思維的思維點.