巧用反比例函數(shù)k的幾何意義模型解題

?重慶市九龍坡區(qū)楊家坪中學(xué) 鄭天順

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師既要講解解題思路,更要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、模型意識(shí)、幾何直觀理念,讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題.本文中將對(duì)反比例函數(shù)k的幾何意義模型解題進(jìn)行簡要分析.

1 利用反比例函數(shù)面積不變性模型解題

反比例函數(shù)面積不變性指的是過反比例函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)分別作x軸與y軸的垂線,它們與坐標(biāo)軸形成的矩形面積為定值|k|(如圖1所示),即S矩形ABEO=S矩形DOFC=|k|.

圖1

圖2

2 利用反比例函數(shù)面積公式模型解題

圖3

圖4

A.S1=S2+S3B.S2=S3

分析：由模型1和模型2的結(jié)論,可知

由S△BOE-S△OME=S△COF-S△OME,得S2=S3.

所以S2=S3

3 利用反比例函數(shù)平行性質(zhì)模型解題

反比例函數(shù)平行性質(zhì)模型指的是過反比例函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)分別作x軸與y軸的垂線,如圖5,則AB與MN一直保持平行關(guān)系,即AB//MN.反比例函數(shù)平行性質(zhì)模型可有效解決位置、面積等方面的問題.

圖5

圖6

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：結(jié)論①,從反比例函數(shù)的平行性質(zhì)模型來看,四邊形DMNB與四邊形AMNC均為平行四邊形,所以BD=NM=AC,AM=CN,所以AD=BC.又∠AMD=∠BNC=90°,所以ΔAMD≌△CNB,故①正確.

結(jié)論②,從平行性質(zhì)模型來看顯然正確.

結(jié)論③,過點(diǎn)O作CD的垂線,△AOD與△BOC等底同高,面積相同.

結(jié)論④,四邊形DMNB與四邊形MNCA只能確定一組對(duì)邊相等,故周長并不一定相等.

故選答案:C.

4 利用反比例函數(shù)等線段性質(zhì)模型解題

反比例函數(shù)等線段性質(zhì)模型指的是過反比例函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)作直線,并使這條直線與坐標(biāo)軸相交,若設(shè)相交點(diǎn)分別為M,N,則AM=BN(如圖7與圖8).

圖7

圖8

圖9

(1)求k的值;

(2)連接OA與OB,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2,求△AOB的實(shí)際面積;

(3)若直線AB與x軸交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,試證明AM=BN.

分析：(1)顯然k=10.

又∠NGB=∠AFM=90°,則△NGB≌△AFM,所以AM=BN.

本題第(3)問還可以先求證S△NOB=S△AOM,再利用等高證明AM=BN,或在Rt△NGB與Rt△AFM中利用勾股定理進(jìn)行求解,從而論證AM=BN.

5 利用反比例函數(shù)之同側(cè)雙曲模型解題

圖10

(1)若直線AB與x軸或y軸平行,則S矩形ABNP=|k1-k2|.

圖12

圖13

6 利用反比例函數(shù)之異側(cè)雙曲模型解題

圖15

圖16

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,需注重學(xué)生解題思維、創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng),提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的能力.反比例函數(shù)k的幾何意義模型有很多,如面積不變性模型、面積公式模型、平行性質(zhì)模型等,在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,讓學(xué)生了解各種模型的應(yīng)用方法,從而提高解決問題的能力.