立足核心概念 明晰思維路徑 積淀核心素養*
——一道質檢題的解析及思考

?淄博市周村區第一中學 崔 濤

?淄博市周村區教育教學研究室 朱向東

1 原題呈現

如圖,P為正方形ABCD對角線AC上的一點,連接DP并延長交AB于點E,過點P作MN⊥DE分別交BC,AD于M,N.

(1)如圖1,求證:MN=DE.

圖1

(2)如圖2,點F與點C關于直線DE對稱,連接FA并延長交直線DE于點G,連接BG.

圖2

①設∠ADE的度數為x,求∠DGF的度數;

②猜想AF與BG之間的數量關系,并證明.

2 解題思路分析

核心概念,居于學科知識的中心地位,具有廣泛的適用性和解釋力.在認知結構中,核心概念表現出網絡狀、持久性和可遷移等特點.對核心概念的深度理解,能夠幫助學生把握知識本質,形成學科觀念;推動知識關聯的高效形成,發展應用能力;生長和優化認知結構,培養核心素養.

對于第(2)大問的第②小問,筆者立足核心概念,深挖概念背后的本質屬性,明晰思維路徑,聯通知識網絡.利用幾何直觀,圖形化核心概念的內涵,給出如下解題方案:

第一種方案是以“軸對稱”為問題分析的起點,構造基本圖.利用圖形關系,與正方形的相關性質形成關聯.通過三角形相似或三角函數,落腳于線段的比,實現目標線段數量關系的求解.第二種方案是立足“等腰三角形”,結合先驗知識,添加常用輔助線.聚焦圖形變化,與正方形的相關性質形成關聯.通過幾何直觀,進一步擬定解題策略.通過三角形相似或三角函數,求得目標線段的數量關系.

3 解題方案實施

結合上面的兩種方案,有如下6種具體思路和解法.

思路1：聚焦軸對稱,構造基本圖.通過幾何直觀,猜想并證明△CAF與△CBG相似.借助相似比,求得目標線段之間的數量關系.

圖3

思路2：以軸對稱為起點,基本圖為根本.通過構造和證明△CBH與△ABG全等,得到與線段AG等長的線段CH.最后,通過線段和差與等腰直角三角形BGH的相關性質,求得目標線段之間的數量關系.

圖4

思路3：立足軸對稱,活用基本圖.深入挖掘其性質與正方形之間的關聯.通過幾何直觀,構造、猜想和證明△DBG與△CAP全等,實現線段BG位置的轉移,進而求得目標線段的數量關系.

圖5

思路4：以等腰三角形DAF為思維起點,通過合理聯想,構造等腰三角形OBG.假借幾何直觀,猜想并證明兩個等腰三角形相似.運用相似比,求得目標線段的數量關系.

圖6

思路5：聚焦等腰三角形DAF,過頂點作垂線,與等腰直角三角形和正方形的相關性質相關聯.通過幾何直觀,猜想并證明△BDG與△ADH相似.通過相似比,求得目標線段的數量關系.

圖7

思路6：在解法5的基礎上,對相似基本圖進行再探究、再發現,構造“一線三等角”.利用三角形全等,建立線段等量關系.利用特殊角的三角函數,求得目標線段的數量關系.

圖8

4 反思

通過思維路徑的明晰和解題方案的實施,不難發現,核心概念作為問題分析的起點、知識融合的關聯點、素養提升的落腳點,貫穿解題活動的始終.核心概念背后潛藏的知識、方法和思想,反映出學科的主要觀點和思維方式,搭建成學科骨架,內化為認知結構的主干.為了加深數學理解、追求數學本質、發展關鍵能力、養成必備品格,筆者立足“三會”,從核心概念的視角,對積淀核心素養的方法進行了如下幾點思考:

4.1 豐富核心概念的圖形化內涵,發展幾何直觀

在我國現代漢語詞典中,對“直觀”的解釋是:用感官直接接受,直接觀察.國內學者和教育家則認為:直觀是直接從感覺和具體背后,發現抽象的實質.新課標對幾何直觀的定義為:運用圖表描述和分析問題的意識和習慣.在教學和解題活動中,將核心概念的內涵圖形化,有利于發現思維起點,洞察知識關聯點,把握問題本質,培養數學眼光.

4.2 厘清核心概念潛藏的內在關聯,提升推理能力

對核心概念的學習,應該更側重于概念背后的知識、方法和思想,側重于思維方式的建立和意識、觀念的形成.在教學和解題活動中,應注重對學生循循善誘,啟發引導.在探求概念實質的過程中,積累推理經驗,體悟數學思想.在對問題的發現、提出、猜想與證明的過程中,深化邏輯思維,提升推理能力.養成講道理、有條理的學科思維品質.

4.3 感悟核心概念的統攝性和解釋力,凝練數學表達

思維的統攝性,是指在思考和處理復雜的系統性事物時,能夠統籌兼顧各個部分,進行優化操作,使繁雜而浩大的思維工程有條不紊地進行.

核心概念在學科知識中的統攝性,體現在其對學科知識的包容性、關聯性,以及普遍存在性和廣泛遷移性.核心概念統攝學科知識的學習,學科思維的發展,學科觀念的形成.在教學和解題活動中,應引領學生發揮好核心概念的普遍解釋力,凝練好數學語言,多途徑、分層次地對數學觀點進行精準表達.滲透用數學語言表達現實世界的意識,發展用數學語言表達現實世界的能力.