“將軍飲馬”模型在初中數學中的遷移運用

? 貴州省畢節市威寧縣哈喇河中學 楊徐夢

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出:學生經歷數學觀察、數學思考、數學表達、概括歸納、遷移應用等學習過程,發展數學核心素養.數學的學習除了基本概念、原理、法則、性質等內容的掌握,更要會用所學知識解決數學問題.這就要培養學生的知識遷移應用能力.“將軍飲馬”模型在數學中的應用,就是利用“兩點之間,線段最短”這一簡單的原理解決生活和學習中的許多數學問題.模型的遷移應用可以把復雜的問題簡單化,抽象的問題具體化.通過建立聯系,形成規律,從而準確地解決數學問題.

1 “將軍飲馬”情境再現

唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個非常有趣的數學問題.這首詩中將軍騎馬觀望烽火之后從山腳下的A點(如圖1)出發,騎馬到河邊飲馬后再到B點宿營,要怎樣走才能使所走的總路程最短.

圖1

2 “將軍飲馬”模型

如圖2,把宿營地和山腳出發點看作兩個點A,B,把河流看作直線a,即在直線a同側有兩個定點A,B,在直線a上找一點C,使AC+BC的值最小.如果點A,B在直線a的異側,利用公理“兩點之間線段最短”就可以解決.下面利用兩個模型進行探究學習.

圖2

模型一：“異側兩定一動”模型.

已知:定點A,B在定直線l的兩側.

要求:在直線l上找一點P,使PA+PB的值最小.

分析：連接AB,交直線l于點P,點P即為所求點.線段AB的長度即為PA+PB的最小值.

理由：“兩點之間線段最短”,可以利用“三角形兩邊之和大于第三邊”來證明.如圖3,在直線l上任取一點P′(點P′與點P不重合),連接AP′,BP′.

圖3

因為在△ABP′中,AP′+BP′>AB,即AP′+BP′>AP+BP,所以當P為直線AB與直線l的交點時,PA+PB的值最小.

模型二：“同側兩定一動”模型.

已知:定點A和定點B在定直線a的同側.

要求:在直線a上找一點P,使PA+PB的值最小(或△ABP的周長最小).

分析：此問題的關鍵是要把“同側兩定”轉化成“異側兩定”,這樣就可以利用模型一來解決.而要實現等距離遷移,就不難想到利用對稱來解決.所以可以作點B關于直線a的對稱點B′,如圖4,連接AB′,交直線a于點P,則點P就是所要找的點.

圖4

理由：因為PB′=PB,所以可得

PA+PB=PA+PB′=AB′.

3 “將軍飲馬”模型的遷移應用

3.1 在方案設計題中的遷移應用

例1在河流CD的同側有兩個村莊A,B,A村莊到河流的距離AC=10 km,B村莊到河流的距離BD=30 km,且CD=30 km.現在打算在河邊建一個自來水廠,向A和B兩個村莊供水,鋪設水管的費用為3萬元/km,要使鋪設水管的費用最省,請你在河流CD上選擇水廠的位置M,并求出鋪設水管的總費用?

分析：A,B兩定點在直線CD的同側,M是一個動點,所以此題屬于“同側兩定一動”模型.

解：如圖5所示,作點B關于直線CD的對稱點B′,連接AB′,交CD于點M,則AM+BM=AM+B′M=AB′,此時水廠建在點M時,費用最小.

圖5

如圖5,在Rt△AB′E中,

AE=AC+CE=10+30=40,EB′=30.

所以總費用為50×3=150(萬元).

3.2 在代數類題中的遷移應用

例2如圖6,P為線段AB上一動點,分別過點A,B作AC⊥AB,EB⊥AB,連接PC,PE,已知AC=4,BE=2,AB=8,設BP=x.

圖6

(1)用含x的代數式表示PC+PE的長;

(2)點P滿足什么條件時,PC+PE的值最小?

分析：(1)由BP=x,知AP=8-x,則可由勾股定理分別求得PC與PE的長度,進而表示出PC+PE的長.

(2)屬于“同側兩定一動”模型,通過作對稱,利用兩點之間線段最短的原理就可以解決.作點E關于AB的對稱點E′,連接CE′,交AB于點P,此時C,P,E三點共線,PC+PE的值最小.

(3)根據(2)中的規律可知,首先畫一條線BD=4,分別過B,D作BD的垂線,使得AB=2,DE=1,連接AE,交BD于點C,此時A,C,E三點共線,AC+CE=AE的值最小.

解：(1)由BP=x,得AP=8-x.

(2)如圖7,作E關于AB的對稱點E′,連接CE′,交AB于點P,此時C,P,E三點共線,PC+PE的值最小.由對稱可知PE′=PE,則PC+PE=PC+PE′=CE′.

圖7

所以PC+PE的最小值是10.

圖8

3.3 在圖形類題中的遷移應用

例3在△ABC中,AC=BC=6,∠ACB=90°,F是BC邊的中點,D是AB邊上一動點,求CD+DF的最小值.

分析：兩個定點C和F在線段AB的同側,動點是D,符合“同側兩定一動”模型.通過作一個定點的對稱點,轉化成“異側兩定一動”模型.

解：如圖9,作點C關于直線AB的對稱點C′,連接FC′,交AB于點D,則線段FC′的長度就是CD+DF的最小值.

圖9

3.4 在函數類題中的遷移應用

圖10

(1)求拋物線的解析式及頂點B的坐標;

(2)判斷△AMN的形狀,并證明你的結論;

(3)P(m,0)是x軸上的一個動點,當PA+PB的值最小時,求m的值.

分析：(1)(2)略.

(3)從圖中可以看出兩個定點A和B在x軸的同側,動點P在x軸上,屬于“同側兩定一動”模型.

(2)△AMN是直角三角形.(過程略)

對于“將軍飲馬”模型類問題,利用軸對稱變換,通過化曲為直,把折線路徑轉化為兩點間距離,根據“兩點之間,線段最短”求出線段之和或三角形周長最小值,可利用兩邊之和大于第三邊作簡單證明.此類問題的解題步驟為:(1)選擇模型;(2)作對稱;(3)定交點;(4)連路徑.