“問題串”在初中數學復習教學中的應用探究
——以“一次函數的圖象與性質”為例

?山東省沂源縣實驗中學 孫 俏

《義務教育數學課程標準(2022年版)》要求學生學會從數學的角度發現問題、提出問題、分析問題與解決問題,以提高知識的應用意識[1].這句話明確了“問題”在數學教學中的重要性.“”問題串”以其得天獨厚的優勢成為當今數學課堂教學的重要引導模式,研究發現,將“問題串”靈活應用于復習課中,能有效助推學生的思維,提高復習實效.

1 理論基礎

1.1 最近發展區理論

維果斯基提出人的認知發展存在“現有水平”與“潛在水平”,介于這兩種發展水平之間的為最近發展區.作為教育工作者,關注學生的最近發展區尤其重要.因為低于這個發展區間的教學難度,無法調動學生的學習興趣;而高于這個區間的教學難度,又會削減學生的學習信心.因此,結合學情,設置處于學生最近發展區內的問題,才會有效激發學生的探索欲.

值得注意的是學生的最近發展區是動態變化的,因此問題的設計也應隨之改變.“問題串”的設計一般遵循由淺入深的順序,從學生的最近發展區出發,帶領學生逐層深入地發展思維,提高認知水平,使得問題與學生的最近發展區始終處于對應水平.

1.2 建構主義理論

皮亞杰在《發生認知論》中提出:學生總是從自身的認知結構出發汲取知識,而認知結構一直在不斷地更新,這就導致不同階段的認知圖式出現了差異[2].因此,需幫助學生建立知識間的聯系,為建構完整的知識體系奠定基礎.建構主義理論著重強調學習觀、學生觀、知識觀與教學觀對教學的影響.

“問題串”的解決,師生、生生之間積極的互動與交流對幫助學生更好地獲得知識間的聯系具有重要價值.基于建構主義理論基礎,將“問題串”應用于數學復習課中,學生以已有的知識結構為基礎,成為知識的主動建構者,并在階梯狀“問題串”的引領下重組知識結構,完善知識體系.

1.3 布魯姆-特內教學提問模式

布魯姆-特內教學提問模式將提問分為“知識、理解、運用、分析、綜合、評價”六個水平,這六種水平由淺入深地呈現出問題的“點—線—面—體”[3].學生在追求思維的高階發展時,可結合布魯姆-特內教學提問模式設計“問題串”.如此設計出的問題層次清晰、條理分明,學生的思維可隨著問題的變化呈螺旋式上升趨勢.

2 例談實施措施

2.1 精心備課——結合學情制定目標

復習教學的目的是為了鞏固、提升學生原有的知識結構,對存在的問題進行查漏補缺.那么,教師在課前需精心研究學情,探尋學生的易錯點,結合學生認知漏洞設計教學目標,擇取典型例題進行復習教學,讓學生在教學過程中自主發現并解決問題,為形成完整的知識結構奠定基礎.

一次函數的圖象與性質難度不大,大部分學生在新課授課時掌握得較好,但在實際應用上仍不夠靈活.因此,在設計復習課教學時,筆者以學生喜聞樂見的活動課方式進行授課,讓學生在由淺入深的“問題串”的引領下逐步提高知識的應用能力.

2.2 活動探索——逐層深入發展思維

活動1：知識點的回顧.

問題1已知一個等腰三角形的周長為4,腰長為x,底邊長為y,該三角形的底邊長是腰長的函數嗎?說明理由.

追問1:寫出這個函數表達式.

追問2:這個問題中的自變量的取值范圍是什么?

追問3:若去掉“等腰三角形”這個背景條件,該函數自變量的取值范圍是什么?

追問4:觀察該函數表達式,這是一個什么函數?

教師擇取學生通過獨立思考獲得的各個問題的答案進行投影.生生之間互相糾錯,表述解決問題的關鍵點.教師將本題所涉及到的知識點進行板書.

設計意圖：以等腰三角形三邊關系喚醒學生對一次函數的回憶,而三角形兩邊之和大于第三邊又為解題增加了隱含條件.設計本題意在培養學生的邏輯思維能力與解題技巧,涉及到的知識點有函數的定義、表達方法、自變量的取值范圍以及一次函數的定義等.

活動2：一次函數的圖象與性質.

問題2將問題1中的一次函數圖象畫在平面直角坐標系中(如圖1),觀察圖象,你有什么發現?

圖1

追問1:一次函數圖象是怎么畫出來的?

追問2:通過這個函數圖象,能解決哪些問題?

如,y=0,x的值是多少?y<0,x的取值范圍是什么?y>0,x的取值范圍又是什么?

學生獨立思考并畫圖,舉手表達自己通過觀察所獲得的結論.教師引導學生對結論進行補充、完善,課堂氛圍達到小高潮.教師將本題涉及到的知識點進行梳理、板書.

設計意圖：這是一個開放性問題,不同水平層次的學生所形成的感悟各不相同.引導學生互相補充的過程,實則為發散學生思維、拓寬學生視野的過程,這是激發學生潛能、促進思維發展的重要方式.追問的提出,意在讓學生通過數形結合思想,將一次函數和一元一次方程以及一元一次不等式建立關聯,并在圖象上進行描述.

活動2復習的知識點:①用兩點法畫一次函數圖象;②復習一次函數單調性、平行與平移等內容;③建立一次函數和一元一次方程以及一元一次不等式間的聯系.

問題3請在圖1的直角坐標系中畫出一次函數y=-2x+4的圖象l繞原點旋轉90°之后的圖象l′,并寫出l′的函數表達式.(見圖2)

圖2

追問1:說說你們是怎樣畫出圖象l′的?

此環節,給予學生充足的思考與畫圖時間,并將學生所畫圖象進行投影,及時糾正部分學生的錯誤.通過互動的方式,學生自主表達畫圖方法.必要時教師進行適當點撥.

設計意圖：一次函數圖象的旋轉問題是復習的重點與難點,這部分內容不僅需從代數角度考慮待定系數法,還需從幾何角度思考旋轉問題.因此,給予學生充足的時間,進一步深化對基礎知識的理解,同時感知數形結合思想的妙處.

問題4以上問題中,直線l與l′的交點坐標是什么?

追問1:請觀察圖象,分析當x分別取什么值時,會出現y1>y2,y1=y2,y1

追問2:當x取什么值時,y1>y2≥-2?

追問3:直線l,l′與x軸所圍成的三角形面積是多少?

學生通過獨立思考與合作交流自主完成以上所有問題.教師將學生的結論進行投影,讓生生之間互相糾錯.通過問題的引導,學生完成問題的同時也提煉出比較兩個一次函數大小的具體方法,這為提高解題能力奠定了基礎.

設計意圖：隨著課堂的推進,復習內容的難度逐漸加深,問題4的提出意在讓學生在掌握基礎知識的同時學會應用分類討論思想解決實際問題.追問3的提出,意在考查學生對知識的綜合應用,為后續解決更多綜合性問題作鋪墊.

2.3 歸納總結——思維導圖建構體系

要求學生回顧本節課所學內容,并將各個知識點在草稿紙上羅列出來,并用思維導圖將知識與知識之間的聯系表達出來,進一步鞏固對一次函數圖象及其性質的認識.

總之,將“問題串”應用到復習教學中,不僅能進一步鞏固與提升學生的“四基與四能”,還能對學生進行學習方法上的指導,幫助學生提煉數學思想方法,促進數學核心素養的形成與發展.