思維導圖與波利亞解題思想融合的教學實踐研究*
——以“二次函數”為例

?江蘇省連云港市東港中學 霍 云

數學解題的思維過程是學生遷移運用數學思想、感知數學本質的過程.在新課程改革持續推進的背景下,數學教育工作者如何在傳授知識的基礎上,促使學生學會思考、學會解題,是數學教學順應新課程改革、提高教學質效、培養和發展學生核心素養的應有之義.波利亞的數學解題思想則為提高學生解題能力、教會學生思考提供了理論支撐.波利亞的解題思想具體地體現在《怎樣解題》一書中,他將解題過程分為“理解問題、擬定計劃、執行計劃、檢驗回顧”四個步驟.思維導圖作為一種現代教育形式,可以將抽象的數學知識具體化,從而幫助學生理解問題、明晰解題思路.本文中以“二次函數”教學為例,探索思維導圖與波利亞解題思想的有機融合,提高學生問題解決能力.

1 以圖示意,理解問題

理解問題是解決問題的前提.在理解問題的過程中,教師應引導學生找出題目蘊含的未知和已知信息,分析已知量與未知量的關系,幫助學生明確問題的本質、求解的條件和目標.在此環節,教師可以引導學生通過題目中的已知條件,整合已有知識經驗,繪制思維導圖,以圖示意,在梳理題目信息的過程中找到解題的關鍵信息.

例1根據“上加下減、左加右減”的圖象平移規律,分別畫出函數y=x2,y=2x2,y=-2x2,y=2x2-3,y=2(x+4)2,y=2(x+4)2-3的圖象.

師:以一般式y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c為常數)為例,其中的系數a,b,c分別有什么作用?

生1:a的正負決定拋物線的開口方向.

生2:a與b決定對稱軸的位置.

生3:c決定拋物線與y軸的交點坐標.

師:y=a(x-h)2+k(a≠0)是二次函數的什么形式?h和k的意義分別是什么?

生:頂點式.h和k分別是拋物線頂點的橫坐標和縱坐標.

師:頂點式和一般式可以相互轉化嗎?如果可以,頂點式中的h和k與一般式中的系數a,b,c之間是否存在關系?存在怎樣的關系?

在師生的對話交流中,帶領學生復習和梳理關于二次函數圖象的知識點,從而形成如圖1所示的思維導圖.

圖1 “以圖示意”思維導圖

2 按圖索旨,擬定計劃

擬定計劃是解決問題的關鍵,同時也是發展學生數學思維、引導學生形成解題思路的重要過程.波利亞解題思想認為在擬定計劃階段,解題者在理解問題的基礎上,應對要解決的問題進行模式識別,熟練運用已有的解題經驗和掌握的數學思想方法,在知識遷移運用的基礎上,產生題目的解決方案.按圖索旨,讓學生通過思維導圖重構自身的知識結構,將零散的知識信息變為系統化的知識體系,使學生在面對問題時,可以快速在腦海中找到解決問題所需要的知識.

例2將拋物線y=(x-3)2-4沿著直線y=2x-10的方向平移,平移后的拋物線經過點M(0,10),則平移后得到的拋物線的解析式是什么?

分析：例2是例1的延伸,學生面對此問題時,會在已有經驗中搜索關于此類問題的解題方法,根據“上加下減,左加右減”的平移規律,形成如圖2所示的思維導圖.同時,在數學建模思想的作用下,設平移后的拋物線解析式為y=(x+h)2+k,根據二次函數頂點式的性質得出平移前的拋物線y=(x-3)2-4的頂點為(3,-4),且點(3,-4)在直線y=2x-10上,由此推斷出平移后的拋物線的頂點坐標(-h,k)也在該直線上,將(-h,k)代入y=2x-10中,得k=-2h-10,又10=(0+h)2+k,很容易就會求出h和k的值,從而得到平移后的拋物線解析式.

圖2 “按圖索旨”思維導圖

3 以圖梳理,執行計劃

執行計劃是學生將解題思路具體化的階段,也是鍛煉學生數學運算能力、養成良好答題習慣的重要過程.解題者可以通過思維導圖梳理解題思路,使解題過程的書寫邏輯性更強.

例3已知a∈R,二次函數f(x)=x|x-a|,求f(x)在區間[1,2]上的最小值.

分析：該函數的關鍵為|x-a|的取值,結合定義域發現,此題需要運用分類討論思想,根據a的取值分為三種情況討論f(x)在區間[1,2]上的最小值.本題的思維較為復雜,如圖3所示的思維導圖可以幫助學生在復雜抽象的問題情境中明晰解題過程,繪制思維導圖的過程也是拓展學生思維的過程.

圖3 “以圖梳理”思維導圖

4 借圖發散,檢驗回顧

檢驗回顧是促進學生強化、內化知識的過程,在幫助學生檢驗問題解決準確性、梳理解題過程的基礎上,引導學生歸納總結問題中蘊含的知識點,以及解決問題所運用的數學思想和方法,更新知識體系,同時思考是否存在更優化的解題方法,積累解題經驗.

例4某一運動服裝專賣店,在8月份上市了新設計的運動套裝,已知該運動套裝的進價為180元/套,若售價為340元/套,則每月可以賣出50套,售價每下降10元每月就會多賣出6套運動套裝,為了獲得最大利潤,現將每套運動套裝降價x元(x為10的倍數),每月運動套裝的銷量為y(單位:套),月利潤為W(單位:元).(1)寫出y與x之間的函數解析式;(2)如何確定售價才能獲得最大利潤,最大利潤是多少?

圖4 例4的解題思維導圖

根據波利亞解題思想與思維導圖的融合,在以圖示意、按圖索旨、以圖梳理、借圖發散的過程中,引導學生體驗理解問題、擬定計劃、執行計劃、檢驗回顧的解題過程.一方面,幫助學生梳理解題思路,為學生指明解題思維方向,優化解題過程,發展和培養學生的解題能力;另一方面,在解題過程中促進學生重構數學知識結構、感悟數學問題所蘊含的數學思想方法.