真假辨析,發展學生核心素養*
——關于全等三角形中“SSA”的再思考

? 安徽省太湖縣實驗中學 周志寬

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出:通過數學學習,學生逐步會用數學的眼光觀察現實世界,會用數學的思維思考現實世界,會用數學的語言表達現實世界.筆者下面以一道初中幾何命題的真假辨析為例,結合“一般觀念”,談談一線數學教師在教學中該如何貫徹新課程理念,在“三會”中發展學生數學核心素養.

1 問題呈現

滬科版數學教材八年級(上)第14章,在三角形全等判定方法的探究中,“SSA”即兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等是假命題,可以舉如下反例:

如圖1,在△ABC中,作BD=BA交AC于點D,但△ABC與△DBC不全等.

圖1

在什么情況下,兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形會全等呢?

已知在△ABC與△A1B1C1中,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1,試探究滿足什么條件△ABC與△A1B1C1全等?

2 問題探究

探究1：若∠C=∠C1=90°,△ABC與△A1B1C1一定全等嗎?

方法一:通過平移,兩個三角形可拼成一個等腰三角形,可得一銳角相等,再運用“AAS”可證.說明這兩個三角形均為直角三角形時,它們一定全等.

證明：在平面內移動△ABC,使點B和點B1、點C和點C1重合,點A和點A1在B1C1的兩側,如圖2.

圖2

由∠A1C1A=∠A1C1B1+∠ACB=90°+90°=180°,可知A1,C,A三點在同一條直線上.

又B1A=B1A1,所以∠A=∠A1.

方法二:根據勾股定理在直角三角形中由兩邊相等可證第三邊相等,再用“SSS”可證.

結論1:斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(“HL”).

探究2：若∠C=∠C1<90°,△ABC與△A1B1C1全等嗎?

類似于圖1,同樣可構造不全等的兩個三角形作為反例,則△ABC與△A1B1C1不一定全等.

探究3：若△ABC與△A1B1C1均為銳角三角形,兩三角形一定全等嗎?

分析：如圖3,過點B,B1分別作BD⊥CA于點D,B1D1⊥C1A1于點D1,可證△BCD≌B1C1D1,得BD=B1D1;再證Rt△ABD≌Rt△A1B1D1,得∠A=∠A1,可證△ABC≌△A1B1C1.則兩三角形一定全等.

圖3

證明：過點B,B1分別作BD⊥CA于點D,B1D1⊥C1A1于點D1.則∠BDC=∠B1D1C1=90°.

在△BDC與△B1D1C1中,

∴△BDC≌B1D1C1(AAS).

∴BD=B1D1.

易證Rt△ABD≌Rt△A1B1D1(HL).

∴∠A=∠A1.

在△ABC與△A1B1C1中,

∴△ABC≌△A1B1C1(AAS).

結論2:兩邊及其中一邊的對角(對角是銳角)分別相等的兩個三角形不一定全等,但兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個銳角三角形一定全等.

探究4：若△ABC與△A1B1C1均為鈍角三角形,兩個三角形一定全等嗎?

不一定全等.反例:如圖4,△ABA1中,∠ABA1=90°,且BA=BA1,延長AA1至點C,連接BC.則△CBA與△C1B1A1均為鈍角三角形.

圖4

探究5：若∠C=∠C1>90°,△ABC與△A1B1C1一定全等嗎?

如圖5,過點B,B1分別作BD⊥CA交AC的延長線于點D,B1D1⊥C1A1交A1C1的延長線于點D1,可證△BCD≌B1C1D1,得BD=B1D1.用“HL”再證Rt△ABD≌Rt△A1B1D1,得∠A=∠A1,即可證△ABC≌△A1B1C1.

圖5

結論3:兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個鈍角三角形不一定全等,但對角是鈍角時,對應的兩個三角形一定全等.

3 延伸應用

在△ABC中,過∠BAC角平分線上任意一點P,分別作PE⊥AB于點E,PF⊥AC于點F,若BE=CF,試判斷AB一定等于AC嗎?并說明理由.

分析：解決該問題的關鍵是畫圖.需考慮點E,F在AB,AC上的位置及點P與△ABC的位置關系.借助幾何畫板探究,當點E,F同時在AB,AC上或同時在其延長線上,AB一定等于AC.如圖6,其中點P位于BC上(左一),通過兩次證全等即可,此種情況最特殊,證明最簡單;后三種情況連接PB,PC可以轉化,同理可證.

圖6

當點E,F不同時在AB,AC上或不同時在其延長線上,AB一定不等于AC,如圖7.

圖7

綜上,AB不一定不等于AC.

4 研究感悟

4.1 會用數學的眼光觀察現實世界

由探究可知,“兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等”是假命題;若對角是直角或鈍角,則兩個三角形一定全等,若對角是銳角則不一定全等;若在直角三角形或銳角三角形中,則兩個三角形一定全等,若在鈍角三角形中則不一定全等.這幾個命題,真真假假,教學中只有讓學生親身體驗,經歷分析和比較的過程,感悟共性,分辨差異,才能看清問題的本質,形成合適的類,通過幾何直觀提升抽象能力,會用數學的眼光觀察現實世界.

4.2 會用數學的思維思考現實世界

在解決問題的過程中,真命題的證明都運用了“一般觀念”中分類、轉化、由特殊到一般的數學思想,充分利用已有元素探究兩個三角形中其他元素是否唯一確定.以上問題情境充分運用“一般觀念”引導學生經歷幾何命題發現、猜想、證明的過程,感悟歸納推理和演繹推理的傳遞性,會用數學的思維思考現實世界.

4.3 會用數學的語言表達現實世界

從問題呈現、猜想、證明、歸納體現出研究數學問題的基本套路.對于兩個假命題,均舉反例說明;對于真命題,運用演繹推理予以嚴密論證,體現了嚴謹的科學精神.通過引導學生經歷針對圖形性質、關系、變化確立幾何命題的過程,體會數學命題中條件和結論的表述,會借助圖形分析條件與結論之間的邏輯聯系,感悟數學表達的準確性和嚴謹性,發展模型觀念,會用數學的語言表達現實世界.

中國科學院院士張景中在《走進教育數學》中指出,數學教育工作者應致力于“把數學解題變容易”的研究.因此,盡可能在教學中尋求更通用、更有力的解題方法,以“一般觀念”引領,借助現代信息技術,為學生提供有章可循的解決問題的途徑,“把數學變容易”,真正實現減負增效.