建構深度教學 凸顯核心素養*
——以直角三角形的性質定理為例

? 福建省福州市福清虞陽中學 黃慶福

? 福建省福州市福清市梧崗初級中學 鄭 林

教育部印發的《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中明確提出全面深化課程改革以及核心素養在各學科間落地開花的要求.在數學學科中,核心素養更多的是指以數學為工具解決實際問題的能力.這種能力的提高可以通過深度教學來實現.所謂深度教學,就是對知識進行深層剖析,了解知識間的縱橫交錯,提高思維的深度和廣度,同時帶動具體思維向邏輯思維的縱深發展.

深度教與學的落實,需要教師帶領學生建構完整的知識體系,激發學生的邏輯思維,將所學知識靈活運用到解題過程中.本文中以直角三角形的性質定理為例,闡述如何在課堂上基于核心素養視角重新審視知識,構建深度的教與學.

1 問題引領,深度課堂

1.1 教學有疑,疑則有進

人教版教材中關于直角三角形斜邊上中線的性質定理安排在八年級下冊“18.2.1矩形”中.在講解完矩形的性質之后,提出問題:如圖1,在矩形ABCD中,觀察Rt△ABC,BO是斜邊AC上的中線,BO與AC有什么關系[1]?

圖1

教材中這樣安排新定理的生成是基于矩形的四個角均為直角,因此自然想到借助矩形研究直角三角形中的問題.如此安排雖利于知識生成但不利于知識發展,且不利于學生思維能力的培養,無法激發學生的求知欲.

1.2 知識的問題化

本文中在深入探究該定理教學的同時,結合可以關聯的知識,引導學生構建數學知識的整個脈絡圖,學會用聯系的思維看知識,用發展的眼光看數學.學生經歷以上過程,進而對所學知識做到真正理解,并逐步構建數學知識框架和體系.

問題求證:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

已知:如圖2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是斜邊AC的中點,連接BD.

圖2

問題1猜測BD與AC之間有什么數量關系?

問題2能通過折線來驗證你的猜想嗎?

學生經過思考和交流,利用圖3的折疊方法,可驗證猜想.

圖3

2 多向思維,助力推理

上述問題打開了深度教學的大門,而測量和折紙降低了進入的門檻,讓學生“觸手可得”.另外,折紙還蘊含著軸對稱的特性,教師引導學生關注知識的內涵,從而獲得多角度的論證方法.

證法一：論證角度——建構矩形模型.

證明：如圖4,延長BD至點E,使ED=DB,連接CE,AE.

圖4

∵D為AC的中點,

∴AD=CD.

∵BD=DE,

∴四邊形ABCE為平行四邊形.

∵∠ABC=90°,

∴四邊形ABCE為矩形.

∴AC=BE.

證法二：論證角度——建構等角對等邊.

證明：如圖5,在∠ABC的內部作∠MBC=∠C,BM與AC交于點M.

圖5

∵∠MBC=∠C,

∴MB=MC.

∵∠ABC=90°,

∴∠A+∠C=90°,

∠ABM+∠MBC=90°.

∴∠A=∠ABM.

∴AM=BM.

∴AM=MC=BM.

又BD是斜邊AC上的中線,即BD與BM重合.

證法三：論證角度——建構三角形中位線,引出中垂線.

證明：如圖6,在△ABC中,∠ABC=90°,BD為AC邊上的中線,分別取AB,BC的中點G,H,連結DG,DH.

圖6

∵AD=DC,AG=GB,

∴DG∥BC.

∵∠ABC=90°,

∴∠AGD=∠ABC=90°.

∴DG⊥AB.

又AG=BG,

∴BD=AD.

同理BD=CD.

∴AD=BD=CD.

證法四：論證角度——建構三角形全等.

證明：如圖7,延長BD至點E,使BD=DE,連接EC.

圖7

易證△ADB≌△CDE(SAS).

∴∠A=∠1,AB=CE.

∴AB∥EC.

∴∠ABC+∠BCE=180°.

∵∠ABC=90°,

∴∠BCE=90°.

易證△ABC≌△ECB(SAS).

∴AC=BE.

證法五：論證角度——構造中垂線以及聯想等角對等邊.

證明：如圖8,作AB的垂直平分線ME,垂足為E,交AC于點M.連接BM,則AM=BM.

圖8

∴∠1=∠A.

∵∠ABC=90°,

∴∠3+∠1=90°,

∠2+∠A=90°.

∴∠3=∠2.

∴CM=BM.

∵AM=BM,

∴CM=AM.

即M為AC的中點.

又D為AC的中點,

∴點M與點D重合.

∴BD=AD=CD.

證法六：論證角度——由中點聯想中位線.

證明：如圖9,延長CB至點E,使BE=BC,連接AE.則B為EC的中點.

圖9

∵D為AC的中點,

∴BD為△ACE的一條中位線.

∵∠ABC=90°,

∴AB⊥BC.

∵BE=BC,

∴AE=AC.

3 逆向思維,合作探究

在進行命題的學習時,探究逆命題的過程能讓深度教學內容更豐富,并能提升學生的推理能力[2].通過逆命題的證明,培養學生的逆向思維能力,同時又將知識遷移到“命題、定理、證明”這一課時中,增加了知識的層次.

問題3“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題的題設和結論分別是什么?

問題4這個逆命題是否成立?說明理由.

4 應用新知,固化認識

例題如圖10,已知等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形BDF,∠BAC=∠BDF=90°,E是線段CF的中點.

圖10

(1)如圖10,當點B,C,D在同一直線上時,猜想線段AE與DE的數量關系和位置關系,并證明;

(2)如圖11、圖12,當點B,C,D不在同一直線上,且等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形BDF在BC的同側或異側時,探究線段AE與DE的數量關系和位置關系;

圖11

圖12

本題第(1)問直接運用本節所學的直角三角形的性質定理.在Rt△AFC與Rt△DFC中你能得到什么結論?第(2)問顯然不存在Rt△AFC與Rt△DFC,但是以上三個圖形中都存在等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形BDF.等腰三角形有一個“三線合一”的重要性質,教師結合本節所學的直角三角形的性質定理,引導學生添加輔助線解決第(1)問.

如圖13,分別取BF與BC的中點N與M,連接DN,NE,ME,AM.進一步引導學生觀察圖形,找出三角形的中位線,則可證△AME≌△END(SAS)且AM⊥NE,因此可證DE=AE且DE⊥AE.

圖13

接下來,引導學生關注圖形的運動變化過程中不變的量,將第(1)問添加輔助線的思路遷移到圖11與圖12中,鼓勵學生大膽嘗試,畫圖驗證,得到圖14與圖15.

圖14

圖15

此題的變式訓練,能讓學生的思維得到進一步拓展,同時明確某些證明題的設計理念,即對題目的條件或基本圖形進行變換.

5 深度教與學的走向:傳遞知識,更傳遞智慧

5.1 有一種教學叫:觸類旁通

作為課堂的組織者,我們要站在一定的高度來看待知識,領會教材編者的意圖,不斷改進教材教法,遵循吃透教材—改編教材—拓展教材這一過程,學會用聯系的觀點來看待教材,挑選典型例題,分析通法通性.讓學生學會融會貫通.

5.2 有一種學習叫:深入淺出

教師在備課時要多花時間思考“如何實現知識的深入和教法的淺出”.課堂上我們不能“裝高深”,應該“接地氣”,用學生熟悉的已知情境、事物和知識來牽引.教師每拋出一個問題,都要從最簡單的角度入手,步步深入,從特殊到一般.

5.3 有一種智慧叫:大道至簡

深度教與學中,教師要做的是基于教材本身,選取適當素材,課堂上重視探究過程.常言道:經歷過程比結論更重要,知識可以在探索過程中生根發芽;大道至簡,知易行難.

6 是結尾也是開端

數學深度教與學是一個雙向過程,也是一個雙贏的結局.深度教與學作為培養學生核心素養的重要途徑,還需要我們在實踐中繼續豐富和探索.深度教與學幫助學生成為可持續發展的人才,讓學生在今后的學習、生活和工作中能用數學的眼光來看待世界,用數學的思維來解決問題,從而達成目標,實現自我價值.