學程重構:指向發展初中生數學高階思維的實踐研究*
——以“函數”單元教學起始課為例

?江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學 陸麗萍

史寧中教授認為,數學教育的關鍵在于發展思維,尤其是高層次的思維,培養用數學的思維思考世界的素養.高階思維不是教師“教”出來的,而是學生自己“學”出來的.只有把“灌輸”“填鴨”式的教學轉化為學生自己的“學”,通過自我建構,深度學習才會發生,高階思維才能形成.

以課堂教學為主線,以學生的學習過程為核心,注重學習建構理論的精煉,建立一個完整的單元式教學架構,并探索如何讓學生學會學習、學會思考,讓學生用聯系的觀點去理解知識,發展高階思維.注重數學教學中的問題意識,構建互動生成的學本課堂,把學習的主動權還給學生,讓師生、生生的互動貫穿課堂.伴隨著這種“互動”,學生的問題意識會愈來愈強烈,創新意識也會得到進一步培養,進而核心素養也會得到發展.

筆者在蘇科版數學教材“函數”單元起始課的教學中,對學程重構有一些收獲與思考,在此總結出來,希望對初中數學同行能夠起到拋磚引玉的作用.

1 以“問”為先,發展高階思維的深度

1.1 創設情境

教師到學校之前,先到加油站加油.

情境1:在加油站拍攝的畫面如圖1,在加油機給汽車加油的過程中,涉及幾個量?哪些量保持不變?哪些量是變化的?

圖1

情境2:加完油,在汽車行駛的過程中,哪些量保持不變?哪些量是變化的?

情境3:汽車油箱中原有油40 L,行駛過程中每小時耗油5 L,若行駛的時間為xh,油箱中剩余的油量為QL.行駛過程中哪些量是變化的?哪些量沒有變化?

在以上三個情境中出現的量,有些量保持不變,有些量發生變化,為了區別這兩種量,我們把它們分別叫做常量和變量.在某一變化過程中,數值保持不變的量叫做常量.在某一變化過程中,可以取不同數值的量叫做變量.

找一找:(1)在圓的周長公式C=πd中,常量是,變量是.

(2)若彈性測力儀原來的長度為10 cm,每1 kg的重物使彈簧伸長0.5 cm,則含重物質量m(單位:kg)的彈簧測力儀的長度為l(單位:cm),常量是,變量是.

師:判斷一個量是常量還是變量,需要看兩個方面.①看它是否存在于一個變化過程中;②看它在這個過程中的取值情況.

說一說:你能舉出生活中某些變化的例子嗎?并指出其中的常量和變量.

1.2 探索活動一:感受新知

探究1：生活中存在許多常量和變量,例如,水庫蓄水的問題.

已知水庫(如圖2)的水位與蓄水量情況如表1所示:

表1

圖2

表1中有哪些量?它們是常量還是變量?水位高低與水庫的蓄水量有什么關系?

這些數據已讓我們更清楚地感受到這兩個量的變化.根據這些數據可以判斷當水位高度一定時蓄水量確定嗎?

對于給定的每一個水位,蓄水量都有幾個值與它對應?

對于給定的每一個水位,蓄水量都有唯一的值與它對應.因此,工作人員可以根據測得的水位,及時報告水庫蓄水量.

探究2：老師看到水庫里小魚游來游去,想到一個搭小魚的游戲.

如圖3,搭一條小魚需要幾根火柴棒?搭兩條呢?搭三條呢?你有什么發現?

圖3

你能說出我們搭小魚過程中的常量和變量嗎?

火柴的根數s與小魚的條數n這兩個變量間有什么關系?這兩個變量有怎樣的內在聯系呢?

請同學們用剛才分析問題的方法思考一下!

按這樣的方式,如果想搭4條小魚,需要多少根火柴棒?你有什么發現?

在搭小魚的過程中,當小魚條數確定時,所需火柴的根數確定嗎?

設小魚條數為n,火柴根數為s.n=1時,s=8;n=2時,s=14;n=3時,s=20;小魚條數為n時,s=8+6(n-1).

給定小魚的條數,所需火柴根數對應幾個值?小魚條數每取一個值時,所需火柴的根數就有唯一的值與它對應.

探究3：波紋問題.如圖4,在平靜的水面上擲一枚石子,會形成波紋.變化中的波紋可看作是一個不斷向外擴展的圓.

圖4

這個過程中,變量有哪些?請你嘗試描述變化中圓的面積與其半徑大小之間的關系.

如果圓的半徑是10 cm,那么圓的面積確定嗎?唯一確定嗎?圓的面積隨半徑的變化而變化,當半徑確定時,圓的面積也隨之確定.當半徑每取一個值時,圓的面積就有唯一的值與它對應.

2 以“學”為本,重構高階思維的學程體系

2.1 歸納變化過程中的共同特征,抽象出函數概念

小組交流:回顧上述幾個生活實例,盡管它們反映的實際問題不一樣,但是具有一些共同點,你能找出來嗎?這些變化過程有哪些共同之處?(和小組同伴交流,共同完成.)

上述三個實際問題的共同點:都有兩個變量,可用x,y來表示;其中一個變量隨另一個的變化而變化;當x取定一個值時,y都有唯一確定的值與之對應.

當一個變化過程中兩個變量具有上述基本特征時,我們就說它們之間具有函數關系.

抽象得到函數的概念:一般地,如果在一個變化的過程中有兩個變量x和y,并且對于變量x的每一個值,變量y都有唯一的值與它對應,那么我們稱x是自變量,y是x的函數.

回頭看前面的實例,現在可以用函數的思想來理解其中兩個變量間的關系了嗎?

在水庫蓄水過程中,蓄水量是水位的函數;在搭小魚的過程中,所用火柴根數是小魚條數的函數;在波紋逐漸變化的過程中,圓的面積是半徑的函數.

2.2 探索活動活動二:鞏固新知

同學們的思維真活躍,說明大家對函數已有了一定的認識,讓我們在熟悉的問題中進一步加深對函數的理解.

探究4：觀察圖5中的程序,當x=1時,對應y的值是?當x=2時,y的值是?當x=-1時,y的值是?這個變化過程中,有幾個變量?是哪幾個變量?

圖5

輸入一個實數x,便可輸出一個相應的實數y,請問y是x的函數嗎?

如何判斷呢?要看是不是兩個變量,一個變量隨著另一個變量的變化而變化,當一個變量確定時,另一個變量也隨之確定.

3 以“創”為準,實施高階思維的育人策略

小組活動:如圖6,用10 m長的繩子圍成長方形.在這個背景下,你能設計出存在函數關系的問題嗎?

圖6

上述每個問題中的兩個變量都是互相聯系的,當其中一個變量取定一個值時,另外一個變量都有唯一確定的值與之對應.

小結提升:學習了本節課,你對函數有怎樣的認識?你還有哪些疑惑?

我們生活在變化的世界里,函數揭示了變量之間的關系.世間萬物皆相通,事件前后皆因果.希望同學們能用數學的眼光觀察世界,用數學的思維思考世界,用數學的語言表達世界.學好函數,用好函數.將使我們一生受益.