基于LHS-CPSE的非侵入式邊坡可靠性分析方法及其應用

郭文禮

(蘭州有色冶金設(shè)計研究院有限公司, 蘭州 730000)

在房建工程、公路工程、鐵路工程等建設(shè)過程中,不可避免地遇到邊坡穩(wěn)定性問題,如高路堤邊坡、深路塹邊坡等[1-3]。目前,主要采用極限平衡法求解邊坡穩(wěn)定性,并借助單一安全系數(shù)表征其穩(wěn)定程度[4]。但在實際工程中,部分安全系數(shù)滿足設(shè)計要求時邊坡也出現(xiàn)了失穩(wěn)破壞,其關(guān)鍵原因之一是未考慮巖土體的不確定性。因此,顧及巖土變異性的邊坡穩(wěn)定性分析已成為工程界巖土領(lǐng)域的研究熱點。此外,單一安全系數(shù)法也很難與國際接軌,以可靠度理論為基礎(chǔ)的極限狀態(tài)設(shè)計法將是邊坡設(shè)計的發(fā)展方向[5]。

傳統(tǒng)的可靠度分析方法主要是通過經(jīng)驗和力學公式建立顯式功能函數(shù),進而求解工程的可靠度或失效概率,如中心點法、驗算點法和當量正態(tài)化法等[6]。在簡單、非線性程度低的工程結(jié)構(gòu)中,傳統(tǒng)可靠度分析法能夠得到較為滿意的結(jié)果。然而,巖土工程的變異性和高非線性導致其很難通過經(jīng)驗或者力學公式準確表達其極限狀態(tài)函數(shù),這勢必會影響可靠度分析結(jié)果的準確性。因此,隨機有限元應運而生,比較典型的有直接Monte-Carlo隨機有限元法[7]、泰勒展開隨機有限元法[8]、攝動隨機有限元法[9]、紐曼擴展Monte-Carlo隨機有限元法[10]和譜隨機有限元[11],這些方法有效地解決了復雜環(huán)境下巖土工程可靠性問題,但其抽樣次數(shù)巨大或者需要修改確定有限元程序,且對隨機變量的分布有嚴格要求。為了解決上述問題,非侵入式有限元得到了快速發(fā)展,該方法無需對確定有限元與可靠性計算進行相互耦合,一方面降低了計算的復雜性,另一方面有效提高了計算速率。此外,如果配合適合的抽樣技術(shù),將會進一步減少非侵入式有限分析法的計算量,進而大幅提高計算效率。

基于上述思路,現(xiàn)提出一種基于拉丁超立方抽樣-切比雪夫多項式隨機展開模型(Latin hypercube sampling-Chebyshev polynomial stochastic expansion,LHS-CPSE)的非侵入式邊坡可靠性分析方法,該方法采用拉丁超立方抽樣技術(shù)(LHS)抽取巖土體的原始樣本,基于切比雪夫多項式隨機展開模型(CPSE)建立顯式響應面模型,借助蒙特卡洛法(Monte Carlo,MC)計算邊坡的可靠度,在兼顧準確性的同時,有效提高計算效率,快速地為工程設(shè)計和決策提供指導。同時,以蘭州市鹽什公路的一段邊坡為工程案例,將其計算結(jié)果與直接蒙特卡洛法進行對比,驗證新方法的可靠性,并將其應用在坡體開挖方案決策中。

1 LHS-CPSE非侵入可靠度模型

1.1 有限元折減強度法

極限平衡法與有限強度折減法是邊坡穩(wěn)定性分析中的常用方法,與前者相比,后者不僅顧及了土體的彈塑性本構(gòu)關(guān)系影響,而且還能較好地模擬坡體失穩(wěn)過程和滑面的形狀。有限元強度折減法的主要思路是:將所要研究的邊坡巖土體強度指標按照一定的原則進行折減,直到邊坡發(fā)生失穩(wěn)破壞,并將臨界破壞的強度折減系數(shù)作為邊坡安全系數(shù)[11-12]。折減前、后的土體強度指標之間的關(guān)系如下。

cs=c/Fs

(1)

tanφs=tanφ/Fs

(2)

式中:c、cs分別為折減前、后邊坡巖土體的黏聚力;φ、φs分別為折減前、后邊坡巖土體的內(nèi)摩擦角;Fs為折減系數(shù),即安全系數(shù)。

1.2 巖土屈服準則

巖土體作為一種天然材料,其工程特性十分復雜,巖土屈服準則雖多,但沒有一個屈服準則能夠準確描述巖土的各種工程性質(zhì)。其中,摩爾-庫倫(MC)屈服準則是工程中應用最廣、最多的一種屈服準,但其在π平面上為不規(guī)則的六邊形,其棱角處為奇異點,為了消除這種影響,Drucker和Prager在Mises準則的基礎(chǔ)上進行改進,得到屈服準則,即DP屈服準則[13],其表達式如下。

(3)

I1=σ1+σ2+σ3

(4)

(5)

式中:I1為第一應變不變量;J2為第二偏應力不變量;Fs為折減系數(shù);σ1、σ2、σ3分別為第一、第二、第三主應力;α、β為巖土材料常數(shù)。

1.3 拉丁超立方隨機抽樣

拉丁超立方隨機抽樣(LHS)最早由McKay等[14]提出,屬于多維分層抽樣范疇。LHS得到的樣本點不僅具有均勻分層特性,而且還能在大幅度減小樣本數(shù)量的情況下兼顧尾部樣本點,抽樣效率明顯高于普通的抽樣方法。LHS抽樣流程如下。

步驟1根據(jù)研究對象的特點,合理確定抽取的樣本數(shù)量m。

步驟2將隨每個隨機變量Xi(i=1,2,…,n)的分布函數(shù)均分為m段,即保證每段的概率相等且不重疊。

步驟3在每段隨機選取一個樣本點,組成m×n的樣本矩陣。

步驟4將各隨機變量的m個樣本隨機組合,得到輸入變量的樣本向量。

圖1為具有2個隨機變量(即n=2)的拉丁超立方隨機抽樣原理,其中抽取的樣本數(shù)量m=5。

圖1 隨機變量X1和X2分層抽樣和LHS抽樣Fig.1 Stratified sampling and LHS sampling of random variables X1 and X2

1.4 響應面模型建立

響應面實質(zhì)上是輸入變量與響應變量之間建立的一種近似函數(shù)關(guān)系。目前,近似函數(shù)大多采用通用多項式進行擬合,然而它在擬合高度非線性關(guān)系時會出現(xiàn)病態(tài)問題。為了解決這一問題,本文采用切比雪夫多項式隨機展開模型(CPSE)[15]擬合安全系數(shù)Fs與輸入變量x之間的顯式函數(shù)關(guān)系式。

CPSE正交的遞推關(guān)系如下。

(6)

基于該正交基的顯示表達式為

(7)

式(7)中:xi1、xi2、xi3、…、xin為隨機變量;Sn(xi1,xi2,…,xin)為n階CPSE多項式;c0、ci1、ci1i2、…、ci1i2…in為待定系數(shù),展開到n階時,待定系數(shù)個數(shù)為

Nc=(n+p)!/(n!+p!)

(8)

將拉丁超立方隨機抽樣產(chǎn)生的m組隨機變量通過Nataf正態(tài)變換法轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)隨機變量[16],并代入到確定有限元,利用折減系數(shù)法得到m組安全系數(shù)Fs=[Fs1,Fs2,Fs3,…,Fsm]T,再將其代入式(7),可得到線性方程組為

HC=Fs

(9)

式(9)中:H為m×Nc維系數(shù)矩陣;C為待定系數(shù)矩陣。

利用最小二乘法,可求解待定系數(shù)矩陣C中各元素,即c0、ci1、ci1i2、…、ci1i2…in等,進而利用顯示函數(shù)表征隨機變量與安全系數(shù)的關(guān)系,最終建立邊坡穩(wěn)定性功能函數(shù)為

Fs-L=0

(10)

式(10)中:L為邊坡設(shè)計安全系數(shù),可參考相關(guān)規(guī)范的相關(guān)內(nèi)容進行取值,取為1.0。

2 計算流程

傳統(tǒng)的可靠度分析方法,主要根據(jù)經(jīng)驗或者力學公式構(gòu)建顯式功能函數(shù),進而求解工程的可靠度,在簡單、近似線性的工程結(jié)構(gòu)中被廣泛應用。侵入式隨機有限分析雖然可求解復雜的非線性工程的可靠度,但大多需要對確定性有限元程序進行改寫,且計算流程煩瑣、計算量巨大。而非侵入式隨機有限元法,無需將可靠性計算與確定有限元進行相互耦合,不僅降低了求解難度,而且明顯提高了分析效率。

利用Python語言編制相關(guān)程序,并導入ABAQUS軟件中進行邊坡可靠度分析,其計算流程如圖2所示。

圖2 基于LHS-CPSE的非侵入可靠度分析流程Fig.2 Flow of non-intrusive reliability analysis based on LHS-CPSE

3 算例與驗證

選取蘭州市鹽什公路項目K13+025～K13+380段黃土邊坡為研究案例(圖3),地質(zhì)勘察發(fā)現(xiàn),邊坡以晚更新世黃土為主,土質(zhì)均勻,以粉粒為主,結(jié)構(gòu)疏松,具大孔隙,搖震反應迅速,無光澤,切面粗糙,干強度低、韌性低,稍濕、稍密,其強度指標統(tǒng)計參數(shù)如表1所示。邊坡高度29.1 m,按照坡面傾角的不同,大致劃分為上、中、下3段,傾角從下到上依次為67°、48°和35°(圖4)。修建公路時,部分邊坡需要開挖。

表1 邊坡土體強度指標統(tǒng)計參數(shù)Table 1 Statistical parameters for strength indicators of slope soils

圖3 邊坡現(xiàn)場照片F(xiàn)ig.3 Photo of the slope

圖4 邊坡剖面圖Fig.4 Slope profile

圖5為按照圖4所建的確定性有限元模型示意圖,網(wǎng)格單元為4節(jié)點平面應變單元,左側(cè)為位移約束(水平方向為0),底部為固定約束,并在所有單元施加重力荷載。

圖5 確定性有限元模型示意圖Fig.5 Schematic diagram of the deterministic finite element model

可靠性分析中,其結(jié)果的準確性一般采用蒙特卡洛法(MC)進行驗證,表2給2階LHS-CPSE法、3階LHS-CPSE法以及MC法的可靠度。可以看出,3種方法的計算結(jié)果非常接近,可靠度均在95%左右,但3階LHS-CPSE法更接近MC法,誤差僅為0.15%,這表明LHS-CPSE法準確可靠,可以作為邊坡可靠度分析的一種新思路。此外,與MC法相比,2階LHS-CPSE法、3階LHS-CPSE法顯著的降低了計算時間,前者的計算時間為1 536 min,后兩者分別為28 min和77 min,分別為MC法計算時間的 0.02倍和0.05倍,這反映出LHS-CPSE法計算的高效性。值得注意的是, 2階LHS-CPSE法與3階LHS-CPSE法誤差僅為0.23%,但前者的計算時間約為后者的1/3,綜合精度和效率,建議采用2階LHS-CPSE法。

表2 可靠度計算結(jié)果對比Table 2 Comparison of reliability calculations

4 開挖對邊坡可靠度的影響

如圖6所示,為減小坡體開挖量V,進而節(jié)約工程造價,結(jié)合現(xiàn)場地質(zhì)勘察資料,開挖后初步設(shè)計為三級邊坡,且各級坡面盡量與原坡面平行,以工況1為例,Ⅰ級邊坡和Ⅱ級邊坡的坡度設(shè)計為1∶0.5,Ⅲ級邊坡坡度設(shè)計為1∶1。 為增加邊坡開挖后的穩(wěn)定性,在相鄰兩級邊坡之間設(shè)置邊坡平臺,Ⅱ級邊坡平臺(藍色線)設(shè)計寬度為2.0 m,Ⅰ級邊坡平臺(粉紅色線)寬度設(shè)計為7種工況(即L=3.0、3.5、4.0、4.5、5.5、5.5、6.0 m),進一步探討其對邊坡穩(wěn)定性和可靠度的影響。

圖6 開挖方案Fig.6 Excavation scheme

圖7反映了Ⅰ級邊坡平臺寬度(簡稱平臺寬度)對其平均安全系數(shù)的影響,可以觀察到,隨著平臺寬度的增加,平均安全系數(shù)呈顯著的遞增趨勢,從寬度3.0 m的1.05增加至6.0 m的1.42,增幅達35.2%。這說明邊坡的平均安全系數(shù)與平臺寬度呈正相關(guān),可以通過增大其寬度來提高坡體的穩(wěn)定性,平臺寬度增加導致其上部土體質(zhì)量減小是其穩(wěn)定性提高的關(guān)鍵原因之一,即平臺寬度增加相當于對邊坡上部進行減載(當平臺寬度從3.0 m增加至6.0 m時,其上方的土體體積減小52 m3/m),致使其下滑力減少,間接增加邊坡的穩(wěn)定性。

圖7 平臺寬度與平均安全系數(shù)的關(guān)系曲線Fig.7 Curve of platform width versus average safety factor

圖8為不同平臺寬度條件下邊坡的可靠度,很明顯,隨著平臺寬度的增加,邊坡的可靠度呈“先急劇增大,再趨于穩(wěn)定”的態(tài)勢。當平臺寬度從3.0 m增加至4.5 m時,可靠度從81.5%增加至99.5%,增幅約為22%;平臺寬度從5.0 m至6.0 m,可靠度達到100%,即此時邊坡穩(wěn)定性失效概率為0。

圖8 平臺寬度與可靠度的關(guān)系曲線Fig.8 Curve of platform width versus reliability

綜上所述,隨著平臺寬度的增加,坡體開挖量和穩(wěn)定性呈遞增趨勢,但可靠度先急劇增大后趨于穩(wěn)定,即平臺寬度從3.0 m增加至4.5 m時,寬度增加對其可靠度影響顯著,但超過4.5 m后,寬度增加對可靠度的影響非常小。兼顧工程造價與安全考慮,其邊坡平臺按照4.5 m設(shè)計較為合理,此時平均安全系數(shù)為1.26,失效概率僅為0.5%。

5 結(jié)論

(1)LHS-CPSE法采用拉丁超立方抽樣技術(shù)(LHS)抽取巖土體的原始樣本,基于切比雪夫多項式隨機展開模型(CPSE)建立響應面模型,借助蒙特卡洛法(MC)計算邊坡的可靠度。

(2)LHS-CPSE法與直接蒙特卡洛法結(jié)果非常接近,其誤差不到0.5%,且計算時間大幅度縮減,驗證了該方法的可靠性和高效性。

(3)3階CPSE隨機展開模型較2階CPSE隨機展開模型計算精度略高0.23%,但前者的計算效率是后者的1/3,兼顧精度和效率推薦采用2階 CPSE隨機展開模型。

(4)隨著Ⅰ級邊坡平臺寬度的增加,開挖量與邊坡平均安全系數(shù)呈遞增趨勢,但可靠度呈“先急劇增大,再趨于穩(wěn)定”的態(tài)勢,兼顧工程造價與安全考慮,其邊坡平臺按照4.5 m設(shè)計較為合理。

(5)LHS-CPSE法能夠快速準確地計算邊坡的可靠度,可以為公路邊坡設(shè)計和決策提供技術(shù)支撐。