傳遞誤差對行星齒輪動態特性的影響

魯文佳，朱麗莎

（肇慶學院機械與汽車工程學院，廣東 肇慶 526061）

前 言

行星齒輪系統因其緊湊的結構形式和大傳動比，使之成為變速箱中十分常用且重要的變速裝置.國內外學者針對行星齒輪傳動系統展開了相關研究.Cao 等[1]通過研究行星齒輪偏心距對系統時變嚙合剛度的影響，建立了考慮齒輪偏心制造誤差下的行星齒輪系統動力學模型.Mo等[2]考慮了行星齒輪系統嚙合齒隙變化引起的浮動嚙合誤差，建立了考慮位移相容性的兩級外嚙合行星傳動系統齒輪的多體負荷分配模型，并考慮了浮動軌道的變化規律和中心輪的浮動量.Zhai等[3]考慮到行星系統的裝配誤差，采用集總參數法建立了風力發電機齒輪箱螺旋行星齒輪系統的彎扭耦合振動模型并研究了載體水平裝配誤差，載體軸裝配誤差和載體空間裝配誤差對動態特性的影響.Iglesias 等[4]討論了制造誤差（如偏心距和行星銷定位誤差）對三級行星傳動的準靜態特性的影響，揭示了壓力角變化時行星的徑向定位誤差的影響，指出徑向定位誤差在某些操作條件下對載荷分配比具有不可忽略的影響.Sheng等[5]提出了一種具有齒輪間隙和軸承間隙的行星齒輪組非線性橫向扭轉耦合模型，分析了太陽輪的支承剛度和偏心誤差，行星的偏心誤差等對系統動態負載分擔特性的影響.CHEN和QIU[6-7]等將時變嚙合剛度以參數激勵的方式作用于行星齒輪系統，分別研究了齒輪軸向傾翻和嚙合相位對行星齒輪系統接觸特性和動態特性的影響以及時變嚙合剛度和齒輪速度波動對系統響應的影響.BAI和YANG[8-9]等均建立了機電行星齒輪系統耦合動力學模型，研究了電壓瞬變對機電系統動態特性的影響和電磁效應對行星齒輪箱固有振動特性的影響.YANG和LIU[10-11]均研究在不同載荷條件下，行星齒輪系統誤差對載荷分配行為的影響以及考慮靜態傳遞誤差下的強迫振動響應.Hammami等[12]考慮時間變化的負載條件和齒輪嚙合的接觸的非線性，利用有限元法和赫茲接觸理論對齒輪嚙合剛度進行建模，開發了具有動力再循環的行星齒輪的扭轉集總參數模型.關于齒輪系統中嚙合剛度的研究，CHAARI、MA和王奇斌[13-15]等基于能量法建立了齒輪的時變嚙合剛度模型，其中王奇斌[15]基于齒輪嚙合剛度模型考慮傳遞誤差來源，對齒輪傳遞誤差進行了研究.

現有關于行星齒輪的研究或研究偏心誤差，或制造誤差，或裝配誤差等某個方面對行星系統的影響，很少系統揭示綜合傳遞誤差對行星齒輪動態性能的影響，因此難以具有通用性.本研究擬建立通用性更強的考慮誤差因素的行星齒輪動力學模型，以載荷激勵的方式建立傳遞誤差內激勵數學模型，適用于行星多自由度系統并能深入解析內外部激勵源對行星齒輪系統產生的不同影響.

1 考慮誤差因素的行星齒輪動力學模型

考慮行星齒輪系統誤差建立系統的振動參數化模型如圖1 所示.分別建立OXY固定坐標系和Onζnηn隨動坐標系.坐標系OXY的原點為太陽輪質點中心位置O，X軸為O點和第一個行星輪質點中心o1的連線；坐標系Onζnηn與行星架固聯并以相同角速度(ωc)轉動，原點on位于第n個行星輪的質心，坐標軸ζn通過on與O所在直線.下角標c，r，s分別代表行星架，內齒圈和太陽輪.n(n=1,2,...,N)表示第n個行星輪，N代表行星輪的個數.該模型將行星系統不同零部件簡化成相應的質點，通過系統的位置參數表示系統各部件的相對位置關系.分別考慮平面內X，Y方向的移動自由度和繞平面的轉動自由度，從而建立系統的動力學微分方程.

圖1 行星齒輪系統動力學模型簡化圖

對于太陽輪有：

其中：ms和Is分別代表太陽輪的質量和轉動慣量.rs代表太陽輪的基圓半徑；ksu代表太陽輪與各行星輪之間的嚙合剛度；ksx和ksy代表太陽輪的徑向支承剛度；ksu代表太陽輪的扭轉支承剛度；δsn為太陽輪與第n個行星輪在嚙合線方向上的彈性變形.

式中：αs為太陽輪與行星輪之間的嚙合角(ψsn=ψn-αs)，ψn為第n個行星輪的位置角，；esn為太陽輪與行星輪的傳遞誤差.

對于內齒圈有：

其中：mr和Ir分別代表內齒圈的質量和轉動慣量.rr代表內齒圈的基圓半徑；krn代表內齒圈與各行星輪之間的嚙合剛度；krx和kry代表內齒圈的徑向支承剛度；kru代表內齒圈的扭轉支承剛度；δrn為內齒圈與第n個行星輪在嚙合線方向上的彈性變形.

式中：αr為內齒圈與行星輪之間的嚙合角(ψrn=ψn-αr)；ern為內齒圈與行星輪的傳遞誤差.

對于行星架有：

其中，mc和Ic分別代表行星架的質量和轉動慣量；rr代表行星架的當量基圓半徑；kpn代表各行星輪的支承剛度；kc代表行星架的徑向支承剛度；kcu代表行星架的扭轉支承剛度；δζn，δηn為行星架相對于第n個行星輪在ζ和η方向的投影.

式中：eζn和eηn為行星架相對于第n個行星輪在ζ和η方向的誤差，主要包括制造和安裝引起的系統誤差以及幾何偏心引起的誤差等.

對于行星輪有：

其中：mn和In分別代表第n個行星輪的質量和轉動慣量；rn代表第n個行星輪的基圓半徑.

將式(1)-(16)聯立可建立矩陣形式的行星系統動力學方程.

式中：M，C，K分別為系統的質量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣（包括支承剛度和嚙合剛度），嚙合剛度項采用時變嚙合剛度確定，阻尼項采用瑞利阻尼形式來確定[16]；q為系統的廣義坐標；F1(t)和F2(t)分別為系統內外激勵向量.

由于誤差因素引起的系統內激勵向量可表示為：

2 系統內外部激勵

齒輪傳遞誤差是指從動齒輪真實嚙合位置與理論嚙合位置的偏差.齒輪傳遞誤差由輪齒的彈性變形和安裝制造誤差等因素造成，導致輪齒之間發生碰撞和沖擊，形成了齒輪嚙合的誤差激勵.齒輪傳遞誤差隨著齒輪嚙合發生周期性變化，可利用傅里葉級數展開的方式將齒輪傳遞誤差表示為[17]：

式中：e0為輪齒誤差均值；eai為誤差諧波分量幅值；f為輪齒的嚙合頻率.

太陽輪和行星輪的傳遞誤差esn、內齒圈和行星輪的傳遞誤差ern均可利用傅里葉級數展開，太陽輪與行星輪的時變嚙合剛度fsn和內齒圈與行星輪的時變嚙合剛度fsn，可根據文獻[15]方法得到，利用式(29)即可得到系統的內部激勵，相應的內部激勵頻率分別為太陽輪與行星輪的嚙合頻率fs和內齒圈與行星輪的嚙合頻率fr.行星架相對于行星輪的誤差eζn和eηn以行星架的轉動頻率fc周期性變化，行星架處外載激勵同樣以其轉動速度fc周期性變化，兩者相互疊加可等效為系統外激勵共同作用于行星架所在節點，相應的外部激勵頻率為fc.

3 數值計算

以某型采煤機截割部行星齒輪系統作為分析對象，其行星齒輪系統三維模型如圖2所示.主要參數值：太陽輪齒數zs=16，內齒圈齒數zr=68，行星輪齒數zn=25，行星輪個數N=4，模數m=9 mm，行星架轉速60 r/min，行星架所受等效載荷扭矩TC=1.935×104 N·m.根據文獻[15]的方法得到行星齒輪系統的時變嚙合剛度如圖3所示.

圖2 某型采煤機截割部行星齒輪系統三維模型

圖3 行星齒輪系統的時變嚙合剛度

3.1 系統的動態響應與結果分析

分別計算得到了行星齒輪系統在考慮誤差因素和不考慮誤差因素情況下系統的動態特性.圖4為太陽輪分別在考慮誤差因素和不考慮誤差因素影響的情況下y方向和繞z軸轉動方向的位移、速度和加速度的時域響應曲線.圖5為行星輪在兩種情況下的位移、速度和加速度時域曲線.

圖4 太陽輪位移、速度和加速度時域曲線

圖5 行星輪的位移、速度和加速度時域曲線

對行星齒輪系統主要部件的位移、速度和加速度時域曲線進行傅里葉變換得到主要響應的頻域結果.圖6為太陽輪在考慮誤差因素影響時y方向的位移、速度和加速度的頻域分析圖.圖7為考慮誤差因素影響時太陽輪繞z軸轉動方向的位移、速度和加速度的頻域圖.

圖6 太陽輪y方向的位移、速度和加速度頻域圖

圖7 太陽輪繞z軸轉動方向的位移、速度和加速度頻域圖

分析圖6、圖7太陽輪和行星輪的位移頻域圖可以發現，由外激勵頻率fc激發的低頻區是行星系統位移產生的主要原因.A區和B區是由內部誤差激勵頻率fs和fr引起的高頻區，只存在于考慮誤差因素的系統響應中，不考慮誤差因素時，其頻域結果不存在高頻區.因此對于理想的行星系統振動只存在由行星架轉軸頻率fc激發的低頻振動.由圖6和圖7行星系統的速度和加速度頻域結果圖可以得出，在考慮誤差因素時，嚙合頻率fr與其倍頻3fr，4fr，5fr，7fr和嚙合頻率fs與其倍頻3fs，5fs，6fs是太陽輪和行星輪的主要頻率成分，說明行星系統速度和加速度主要由內部激勵頻率fr、fs以及他們的諧頻成分激發產生，考慮系統誤差因素引起的內部激勵是系統產生速度和加速度的主要原因.

3.2 傳遞誤差對系統動態力的影響

傳動系統齒輪副間的動態嚙合力為嚙合線上輪齒的相對位移與嚙合剛度的乘積.圖8為分別考慮誤差因素與不考慮誤差因素，行星齒輪系統中太陽輪和行星輪嚙合副的動態嚙合力fsn(n=1,2,3,4)的時域分布圖，圖9為分別考慮誤差因素與不考慮誤差因素，內齒圈與行星輪嚙合副的動態力frn(n=1,2,3,4)的時域分布圖.對行星系統動態嚙合力fsn和frn進行快速傅里葉變換，得到系統動態力的頻域分析圖.圖10為太陽輪和行星輪的動態嚙合力的頻域分析圖，圖11為內齒圈和行星輪的動態嚙合力的頻域圖.

圖10 太陽輪和行星輪動態嚙合力的頻域圖

圖11 內齒圈和行星輪動態嚙合力的頻域圖

誤差因素對行星系統的動態嚙合力的影響可由圖8和圖9非常直觀的展現，較理想行星系統其動態載荷呈現明顯的頻繁波動，這正是由內部動載荷激發產生的.考慮誤差因素動態力fs峰值較理想行星系統提高了36.7%，動態力fr峰值較理想行星系統提高了28.5%.當不考慮誤差因素影響時，行星系統動態嚙合力只在fc附近存在低頻區.分析圖10和圖11系統動態嚙合力的頻域圖，當考慮誤差因素影響時，行星系統動態嚙合力的頻率成分既存在低頻區，也存在A，B，C，D等高頻區.動態嚙合力fs的高頻區主要由誤差引起的內部激勵頻率fr和fs、以及他們的倍頻3fr和3fs激發產生.同時在這些載波頻率周圍存在頻率成分為(ifs±ifc) (i=1, 3;j=1, 2)和(ifr±jfc) (i=1, 3;j=1, 2)的邊頻帶.動態嚙合力fr的高頻區主要由誤差引起的內部激勵頻率fr和fs以及他們的倍頻3fr和5fs激發產生.同時在以這些內部激勵頻率作為載波頻率的周圍存在頻率成分為(ifr±jfc) (j=1, 3, 5;j=1, 2 )的邊頻帶.這是由于加載于行星架的外載扭矩以行星架轉頻為激勵頻率，形成了以齒輪嚙合頻率及其諧波為載波頻率，行星架轉頻及其倍頻為調制頻率的嚙合頻率調制現象.以上分析得出行星系統的動態嚙合力的低頻區由行星架轉軸頻率激發的外載激勵產生，理想的行星系統不產生高頻成分，誤差因素引起的內部激勵是系統動態力高頻區形成的原因.

誤差因素對行星系統的動態嚙合力的影響可由圖8和圖9非常直觀的展現，較理想行星系統其動態載荷呈現明顯的頻繁波動，這正是由內部動載荷激發產生的.考慮誤差因素動態力fs峰值較理想行星系統提高了36.7%，動態力fr峰值較理想行星系統提高了28.5%.當不考慮誤差因素影響時，行星系統動態嚙合力只在fc附近存在低頻區.分析圖10和圖11系統動態嚙合力的頻域圖，當考慮誤差因素影響時，行星系統動態嚙合力的頻率成分既存在低頻區，也存在A，B，C，D等高頻區.動態嚙合力fs的高頻區主要由誤差引起的內部激勵頻率fr和fs、以及他們的倍頻3fr 和3fs 激發產生.同時在這些載波頻率周圍存在頻率成分為(ifs±jfc) (i=1,3;j=1, 2)和(ifr±jfc) (i=1,3;j=1, 2)的邊頻帶.動態嚙合力fr的高頻區主要由誤差引起的內部激勵頻率fr和fs、以及他們的倍頻3fr和5fs激發產生.同時在以這些內部激勵頻率作為載波頻率的周圍存在頻率成分為(ifr±jfc) (i=1, 3, 5;j=1, 2 )的邊頻帶.這是由于加載于行星架的外載扭矩以行星架轉頻為激勵頻率，形成了以齒輪嚙合頻率及其諧波為載波頻率，行星架轉頻及其倍頻為調制頻率的嚙合頻率調制現象.以上分析得出行星系統的動態嚙合力的低頻區由行星架轉軸頻率激發的外載激勵產生，理想的行星系統不產生高頻成分，誤差因素引起的內部激勵是系統動態力高頻區形成的原因.

4 結論

利用集中質量參數法建立了考慮系統傳遞誤差因素的行星齒輪系統動力學數學模型，得到了由誤差激勵產生的行星齒輪系統內部附加動載荷模型，較理想行星系統模型相比可將內部誤差引起的內部激勵量化處理并應用于系統動態特性研究.

行星架轉軸頻率激發的外激勵頻率是行星系統位移響應低頻區產生的主要原因.內部誤差激勵頻率主要影響的位移響應的高頻區.行星系統速度和加速度主要由內部嚙合頻率以及他們的諧頻成分激發產生，系統誤差引起的內部激勵是行星系統產生速度和加速度的主要原因.

考慮誤差因素太陽輪、內齒圈和行星輪的動態力峰值較理想行星系統分別提高了36.7%和28.5%.行星系統的動態嚙合力的低頻區由行星架轉軸頻率激發的外載激勵產生；理想的行星系統不產生高頻成分，誤差因素引起的內部激勵是系統動態力高頻區形成的原因.