曲面磨削表面微觀形貌建模方法研究

胡 寧 陳海鋒

（湖南科技大學智能制造研究院難加工材料高效精密加工湖南省重點實驗室，湘潭 411201）

文 摘 針對現有磨削表面微觀形貌建模方法僅對某一類特定零件有效，提出了一種適用于空間曲面零件加工的磨削形貌建模方法。基于曲面磨削加工原理，建立砂輪坐標系與曲面零件坐標系之間的齊次變換矩陣，獲得磨粒的三維運動軌跡方程。通過提出曲面區域逼近求解算法，建立曲面磨削表面微觀形貌預測模型。并以展成法磨削齒輪和磨削軸承內套為例，得到兩類實驗與仿真結果之間的誤差最大為11.338%和18.91%，驗證了本文提出的預測模型的有效性與科學性。

0 引言

磨削作為一種去除材料的機械加工方法，廣泛應用于發動機葉片、齒輪等復雜曲面零件的精加工工藝中。表面微觀形貌作為反映磨削加工質量的重要指標之一［1］，在工程中得到越來越多的重視，為了對磨削后的工件表面微觀形貌進行預測，國內外學者在其建模方法方面做了大量的研究。現有的建模方法可分為經驗建模方法和理論建模方法［2-3］。其中經驗建模方法是對大量的實驗數據通過計算機進行總結擬合出表面粗糙度與加工工藝參數之間的預測模型。高欽［4］利用回歸分析方法對磨削后的面齒輪表面粗糙度進行預測，并且驗證了所建面齒輪表面形貌回歸預測模型的準確性。田鳳杰等［5］根據砂帶磨削葉片后所得的實驗數據建立了評價指標擬合回歸數學模型，并且該模型可反映加工參數與葉片表面磨削后粗糙度的關系。與經驗建模方法相比，理論建模方法是通過對砂輪上磨粒的運動軌跡映射至工件表面的過程進行數學描述，以獲得表面微觀形貌的預測模型［6］。ZHOU等［7-8］利用樹脂黏合劑將蝸桿砂輪上的磨粒進行復刻得到砂輪形貌，并根據該砂輪形貌結合蝸桿砂輪與齒輪齒面之間的運動關系，建立了齒面微觀形貌的預測模型。CHEN等［9-10］通過計算單顆磨粒的切削軌跡，及相鄰磨粒軌跡的交點，根據布爾運算，獲得齒廓的仿真形貌。梁志強等［11］通過研究砂輪形貌的仿真以及螺旋傘齒輪磨削磨粒的運動軌跡，結合干涉軌跡在面坐標系上遺留的坐標值進行傘齒輪理論微觀形貌的建模。陳杉杉［12］提出一種考慮曲面曲率影響下的磨削加工表面形貌理論模型，該模型是將相鄰兩砂輪磨粒磨削過程中的殘余空隙部分進行區域面積和殘余高度值的計算，最終得到曲面形貌建模的一種方法。段練［13］根據磨粒接觸半徑和磨削曲面的等參數線之間的弧長得出可計算出磨粒切削加工曲面工件截面所遺留高度的理論公式，并以此建立葉片磨削后的仿真形貌。

綜上所述，現有的曲面磨削表面微觀形貌預測方法大多針對某一特定曲面零件，對其他類型的曲面零件適用性較差。因此，根據砂輪上的磨粒在空間曲面的磨削包絡軌跡來建立具有通用性和普適性的預測模型。本文主要研究復雜曲面零件表面微觀形貌與磨削工藝參數之間的關聯規律，在科研生產中具有重要的工程價值和理論意義。

1 砂輪表面形貌建模

由于砂輪表面是由大量形狀復雜且隨機分布的磨粒組成。因此，將磨粒形狀假設為不規則多面體，多面體由球體隨機切割而成。

根據文獻［14］，磨粒最大直徑dgmax、磨粒平均直徑dgave可表示為：

式中，M為砂輪磨粒的粒徑號。

假設磨粒切削刃高度服從高斯正態分布(μ，σ2)，切削刃的露出高度h可由分布函數表示如下：

式中，A1為定量參數，文中該參數的值為1。

砂輪表面相鄰磨粒的平均間距可表示為［15］：

式中，S為砂輪組織號。

為了保證兩兩磨粒之間不發生干涉現象，需要設定將兩兩磨粒間距大于其半徑之和，因此對于空間中任意兩顆磨粒Gi，j，k和Gl，m，n應滿足下列公式要求：

式中，dgi，j，k和dgl，m，n分別表示磨粒Gi，j，k和Gl，m，n的直徑。如不滿足上述條件，需將Gl，m，n重新賦值并計算，最終可得到砂輪磨粒隨機分布下的情況如圖1所示。

圖1 砂輪磨粒形貌圖Fig.1 The morphology of grinding wheel

2 曲面磨削微觀形貌建模方法

2.1 任意曲面磨削加工的坐標變換矩陣

空間曲面零件磨削過程如圖2所示，曲面工件繞x軸轉動，同時沿x正方向做進給運動，與此同時，砂輪隨著變化的曲面改變主軸z方位并對曲面進行切削運動。其中O1-x1y1z1為曲面工件中心坐標系，Of-xfyfzf為曲面工件進給坐標系，O2-x2y2z2為砂輪磨削起始坐標系，為砂輪磨削結束坐標系，Os-xsyszs為砂輪與曲面的接觸坐標系。

為了得到砂輪表面上的磨粒與工件接觸時的變換矩陣，首先根據圖2 中所示位置關系，O1-x1y1z1通過繞x軸旋轉φ角度，沿x方向上移動距離s到達Of-xfyfzf，該s表示工件進給距離，上述變換過程的齊次坐標矩陣［16-17］可表示為：

s可表示為：

式中，vs為曲面工件的進給速度。另外該矩陣中φ表示曲率轉角，可將其視為曲面輪廓線上每段微分區域對應角度的總和，但在特定條件下又可認為φ=ωt，此處的ω為工件轉速。

根據圖2 中所示位置關系，Of-xfyfzf通過z方向上移動距離ρ，y反方向上移動距離p到達O2-x2y2z2，對應的變換矩陣為：

該矩陣（7）中的ρ可表示工件曲率轉動半徑，p可由下式進行表達：

根據圖2 中所示關系，假設O2-x2y2z2與的坐標中心處在同水平面上，僅砂輪主軸z的朝向發生改變，得到O2-x2y2z2將xOy平面和xOz平面旋轉角度φ和λ變換到達。因此，可得到對應矩陣（9）：

當兩坐標系存在相對位置偏差，在矩陣（9）的基礎上，O2-x2y2z2沿z方向移動距離h，y方向上移動距離a，x方向上移動距離b到達，對應矩陣為（10）：

該矩陣（11）中θ為砂輪旋轉角度，可由下式進行表示：

式中，ns為砂輪主軸轉速。

假設磨粒G 位于砂輪上，根據任意曲面的磨削加工原理，將砂輪上的磨粒G 映射到曲面工件中心坐標系上的變換矩陣可表示為：

該公式即可模擬單顆不規則磨粒包絡三維軌跡。

2.2 單顆磨粒的三維軌跡建模

以單顆磨粒為研究對象，截取磨粒在yOz平面上的輪廓如圖3 所示。圖3 中各點為不規則磨粒仿真截面上的頂點，選取截面中最外側頂點，將其視為該磨粒的最大截面，其中BAC段為砂輪不規則多面體磨粒的切削工作部分［18］。單顆不規則多面體磨粒在賦值過程中，BAC三點均可由yOz坐標系進行表示，因此通過圖3展示的部分，可得出角ξ為：

圖3 不規則多面體磨粒截面示意圖Fig.3 The cross section of irregular abrasive particles

設陰影部分為磨粒的切削區域，根據幾何關系得到區域內磨粒與工件之間切削接觸軌跡的坐標方程組：

式中，Gx，y，z為該磨粒的坐標值，dg為不規則多面體磨粒的外接球直徑，β為切削區域的最大閾值角度。

在實際磨削對刀時，是以砂輪是否產生切削火花為基準再以預定的切削深度進給［2］，因此實際切削深度可表示為：

式中，dgmax為不規則多面體磨粒的外接球最大直徑，ap為理論切削深度。為將切削深度考慮到單顆磨粒截面坐標方程組中，根據圖3 中的位置關系，將坐標系中心定義在磨粒中心以上距離處，該距離數值為實際切削深度高度值ae。因此將式（16）與式（15）聯立可得：

利用齊次坐標矩陣表達出單顆磨粒G 的工作截面狀態，得到矩陣（18）。

將式（18）代入公式（13），可得到關于磨粒G 在曲面運動的三維軌跡方程組。對于任意空間曲面的磨削，只需根據磨削加工過程中，砂輪與工件坐標系的相對位置關系，對轉換矩陣進行修改即可得到適用于該磨削方式下的三維軌跡方程組。

2.3 曲面磨削表面微觀形貌建模方法

為了建立曲面磨削微觀形貌，提出一種曲面區域逼近求解算法，其中算法的實現如圖4所示：（1）首先根據圖2 所示的曲面磨削齊次坐標變換矩陣得出單顆磨粒的三維切削軌跡方程，將已知參數代入方程中得到每顆磨粒切削軌跡對應在曲面上的映射值；（2）根據曲面磨削的實際情況，將曲面工件的運動轉角進行等分，并生成求解區域，又由于在進行角度劃分過程中會可能出現相鄰兩區域中心點之間的距離不一，為保證精度，需設置一個最大精度；（3）考慮到砂輪上磨粒眾多且分布不均，將每顆磨粒的軌跡映射到曲面上的指定區域中，會導致計算量巨大，因此選取每個區域坐標點(gx，gy)為中心點，設置一個搜索范圍，僅將搜索范圍內的磨粒映射值進行保存；（4）計算每個劃分區域中心點對應的曲率角度，將該角度納入匹配磨粒映射值在區域內法線方向上的遺留高度值的考量中；（5）按上述方法，依次計算所有區域匹配下的磨粒切削工件表面的殘余高度值，然后選取這些高度值中最小的值作為該區域的高度值；（6）然后將這些最小值連接形成曲面工件的最終磨削形貌。綜上所述可得關于曲面磨削形貌的仿真算法流程見圖5。

圖4 曲面磨削表面微觀形貌實現示意圖Fig.4 Realization diagram of curved surface grinding profile

3 曲面磨削微觀形貌建模方法應用與試驗驗證

3.1 曲面磨削微觀形貌建模方法應用實例一

以齒輪展成法磨削為例，其磨削的工作原理如圖6所示［19-20］，齒輪以x軸為旋轉中心，逆時針與砂輪工作面做嚙合運動，其中圖6中虛線部分為蝸桿砂輪的齒形截面，砂輪工作面始終與齒面相切，又由于齒輪的端面齒廓為漸開線狀，將漸開線基圓進行等角度微分，得到砂輪沿漸開線磨削的轉角φi。根據上文提出的曲面磨削微觀形貌的仿真方法，可知齒輪中心坐標系O1-x1y1z1通過齒輪的轉角和x方向上的進給到達齒輪進給坐標系Of-xfyfzf，并計算漸開線方程為：

圖6 齒輪展成法磨削坐標系變換示意圖［10］Fig.6 Gear generation method grinding coordinate system transformation ［10］

式中，ρ為基圓半徑。因為在磨削過程中，O2-x2y2z2和之間無位置偏移和角度的旋轉，因此M22′為齊次單位矩陣，而M1f、Mf2和M2′f均為前文提到的矩陣。結合圖6 齒輪展成法磨削運動關系原理以及相關參數代入式（21）可得關于砂輪不規則單顆磨粒相對于齒輪齒面磨削的三維軌跡方程組：

以三維軌跡方程組（20）計算后的z值為依據，通過本文提出的曲面區域逼近求解算法，可將齒輪展成法磨削形貌表達出來。

為了驗證本文所建立的曲面微觀形貌預測模型的有效性，采用蝶形砂輪對滲碳淬火硬化處理后的20CrMnTi 齒輪進行磨削實驗，齒輪毛坯件和砂輪的參數如表1 中所示。實驗結束后，用白光干涉儀（Wyko NT9100）測量實驗齒輪進行表面微觀形貌以及粗糙度。

表1 齒輪展成法磨削實驗參數表Tab.1 The parameter table of gear grinding experiment

采用與實驗相同的工藝參數進行仿真，得到仿真形貌如圖7所示，所建齒輪漸開線齒廓形貌圖與文獻［10］中的仿真形貌基本一致。不同砂輪轉速及不同進給速度下表面粗糙度的實驗與仿真結果對比如圖8、圖9所示，隨著砂輪轉速的提升，砂輪在齒面磨削的次數增多，在多磨粒作用下，工件表面殘余高度趨于穩定，使得表面加工質量上升；同理隨著齒輪進給速度的不斷增加，單位時間內切削磨粒數目減小，使得切削效果降低，從而提升齒面微觀形貌的粗糙度。

圖7 齒面齒廓形貌仿真圖Fig.7 The simulation profile of tooth surface

圖8 不同砂輪轉速下仿真與實驗粗糙度對比圖Fig.8 Simulation and experimental roughness at different grinding wheel speeds

圖9 不同進給速度下仿真與實驗粗糙度對比圖Fig.9 Simulation and experimental roughness at different feed rates

通過對比實驗與仿真的結果（表2），發現在進給速度較低的情況下，誤差最大值為11.338%，產生誤差的主要原可能有磨粒切削擠壓工件，導致表面材料發生塑性變形；砂輪的修整水平；在低速情況下機床振動也會影響齒面微觀形貌仿真粗糙度的準確性。正是這些因素在建模過程中未有考慮，導致了仿真結果與實驗結果在某些數據結點存在較大出入，會對本次廣義分析的理論建模產生影響。

3.2 曲面磨削微觀形貌建模方法應用實例二

以軸承內套磨削為例，其磨削的工作原理如圖10所示，在CBN砂輪工作的過程中，軸承內套與砂輪內切且兩者按同方向自轉，同時砂輪由機床控制來回進給，在兩者相互配合下，生成砂輪磨粒的包絡切削軌跡。軸承內套中心坐標系O1-x1y1z1通過自身轉動和x方向上的進給得到軸承內套進給坐標系Of-xfyfzf，其中轉角φ表示的是內圓弧轉角，內圓弧線方程為：

圖10 軸承內套磨削坐標變換示意圖Fig.10 Coordinate transformation for bearing inner sleeve grinding

由于軸承內套在磨削過程中是以中心軸為基準做自轉運動，因此式（21）中的φ可以利用軸承內套角速度ω和時間t對下式進行表達：

CBN砂輪與軸承內套各自的旋轉中心處在同一垂直面上，因此Mf2中的y軸移動值為零。并且，在建立仿真過程中將砂輪的進給運動轉換到工件上的進給運動，因此M22′為齊次單位矩陣。有所不同的是，此次砂輪是以x軸作為旋轉主軸，因此需對M2s做出修改。

根據圖10 及上述原理分析，結合方程組（13）可得關于砂輪不規則單顆磨粒相對于軸承內套磨削的三維軌跡方程組：

建立軸承內套實驗來驗證所建立預測模型的有效性，利用3MZ206DZ-CNC 全自動球軸承內圈內孔磨床對GCr15 軸承內套進行磨削實驗，并利用VHX-500FE 超景深三維顯微鏡、Marsurf M300 粗糙度測量儀對工件表面三維形貌進行測量，其中實驗參數如表3中所示。

表3 軸承內套磨削實驗參數表Tab.3 Bearing sleeve grinding experiment parameter table

采用與實驗相同的工藝參數，得到仿真形貌如圖11所示。不同工件轉速及不同進給速度下表面粗糙度的實驗與仿真結果對比如表4所示，與上文中解釋原理一致，當機床主軸轉速減少或工件進給速率減少時，單位時間內軸承內套表面作用磨粒數量減少，導致曲面光滑程度會明顯下降。

表4 關于軸承內套形貌仿真與實驗粗糙度對比表Tab.4 Comparison table of simulation and experimental roughness of bearing inner sleeve appearance

圖11 軸承內套形貌仿真圖Fig.11 Simulation diagram of bearing inner sleeve appearance

由表4 可知，仿真結果與實驗結果是比較接近的，誤差最大值為18.91%，由此可進一步驗證本文所建立的曲面磨削表面微觀形貌的建模方法是具有科學性和正確性的。

4 結論

（1）基于曲面磨削加工原理，建立砂輪坐標系與曲面零件坐標系之間的齊次變換矩陣，獲得磨粒的三維運動軌跡方程，通過提出曲面區域逼近求解算法，解決加工過程中多顆磨粒軌跡相互交叉干涉的問題，建立一種適用于任意曲面磨削的表面微觀形貌預測模型。

（2）以齒輪展成法磨削和軸承內套磨削為例，對所提出的曲面磨削工件表面微觀形貌的建模方法進行驗證。針對不同實驗下，對比了各自正交實驗參數下的仿真結果與實驗結果的表面粗糙度值。結果表明，兩類實驗對象的表面粗糙度的最大誤差分別為11.338%和18.91%，驗證了仿真模型的通用性與有效性。

（3）該模型的建立可應用到研究空間曲面工件，如齒輪、凸輪軸等零件的表面磨削上，更加直觀地反映曲面零件表面粗糙度與加工工藝參數之間的關聯規律。