集合與常用邏輯用語常見典型考題賞析

■姚 平

集合是高中數學的重要內容,也是高考的必考內容,高考主要考查集合的概念與性質,集合間的關系與運算,集合與其他知識的綜合應用。常用邏輯用語是重要的數學概念,對于這部分內容,高考主要以填空題的形式出現,考查四種命題的關系、命題的否定,以及命題真假的判斷等。

題型一：集合的基本概念

用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含義,再看元素的限制條件,明白集合的類型,是數集、點集還是其他類型的集合。集合中元素的互異性常常容易忽略,特別是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗集合中元素是否滿足互異性。分類討論的思想方法常用于解決集合問題。

例1選擇適當的方法表示下列集合:①大于1且小于8的有理數;②由(a,b∈R)所確定的實數集合;③不等式2x-3＜5的解組成的集合。

解：①大于1 且小于8 的有理數有無數個,用描述法表示為{x∈Q|1＜x＜8}。②根據絕對值的意義化簡求解,設當a＞0,b＞0 時,x=2;當a＜0,b＜0 時,x=-2;當a,b異號時,x=0。故用列舉法表示為{-2,0,2}。③不等式2x-3＜5的解組成的集合可用描述法表示為{x|2x-3＜5},即{x|x＜4}。

跟蹤訓練1：用描述法表示下列集合:①被3除余1 的正整數的集合;②坐標平面內第一象限的點的集合;③大于4的所有偶數。

提示：①被3 除余1 的正整數的集合可表示為{x|x=3n+1,n∈N}。②由于第一象限內的點的橫、縱坐標均大于零,故此集合可表示為{(x,y)|x＞0,y＞0}。③偶數可表示為2n,n∈Z,又大于4,則n≥3,用描述法表示此集合為{x|x=2n,n∈Z且n≥3}。

題型二：集合之間的基本關系

空集是任何集合的子集,在涉及集合關系時,必須優先考慮空集的情況,否則會造成漏解。已知兩個集合間的關系求參數時,關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系,進而轉化為參數所滿足的關系。常用數軸、Venn圖來直觀解決這類問題。

例2設集合A={0,1,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},則集合A與B的關系為( )。

A.A∈BB.A=B

C.B?AD.A?B

解：因為集合A={0,1,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A}={0,1,2,3,4},所以A?B。應選D。

跟蹤訓練2：已知集合A={-1,3,2m-1},B={3,m2}。若B?A,則實數m等于( )。

A.±1 B.-1

C.1 D.0

提示：已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}。

若B?A,則m2∈A,且m2≠3。因為m2≥0,所以m2=-1無解,所以m2=2m-1,解得m=1,經檢驗符合元素的互異性。應選C。

題型三：集合的運算

集合是由元素組成的,從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提。有些集合是可以化簡的,先化簡再研究其關系并進行運算,可使問題簡單明了,易于解決。注意數形結合思想的應用,可用數軸、坐標系或Venn圖幫助求解。

例3已知集合,集合N={x|x≤-3},則集合{x|x≥1}=( )。

A.M∩NB.M∪N

C.?R(M∩N) D.?R(M∪N)

解：由,解得-3＜x＜1,所以M∪N=(-∞,1)。應選D。

跟蹤訓練3：已知全集U={-1,0,1,2,3,4},集合A={x|x≤1,x∈N},B={1,3},則?U(A∪B)=( )。

A.{4} B.{2,4}

C.{-1,2,4} D.{-1,0,2,4}

提示：因為A={x|x≤1,x∈N}={0,1},B={1,3},所以A∪B={0,1,3},所以?U（A∪B）={-1,2,4}。應選C。

題型四：利用集合的運算求參數

根據集合運算求參數,先把符號語言譯成文字語言,然后應用數形結合法求解。涉及子集問題,要分該集合是空集、不是空集兩種情況求解。

例4已知集合A={x|3x2-2x-1≤0},B={x|2a＜x＜a+3},若A∩B=?,則實數a的取值范圍是( )。

跟蹤訓練4：設全集U=R,已知集合A={x|x＜3或x≥9},B={x|x≥a}。若(?UA)∩B≠?,則a的取值范圍為( )。

A.a＞3 B.a≤3

C.a＜9 D.a≤9

提示：因為A={x|x＜3或x≥9},所以?UA={x|3≤x＜9}。若(?UA)∩B≠?,則a＜9。應選C。

題型五：已知集合關系求參數

涉及與子集有關的參數問題,要注意檢驗是否出現集合相等的情況,同時要注意端點是否取等號的情況。

例5(1)已知集合A={1+x2,x},B={1,2,3},且A?B,則 實 數x的 值是( )。

A.-1 B.1

C.3 D.4

(2)若集合A={x∈R||x-4|≤2},集合B={x∈R|2a≤x≤a+3},若B?A,則實數a的取值范圍是( )。

A.{a|a＞3}

B.{a|a≥1}

C.{a|1＜a＜3}

D.{a|1≤a≤3}

解：(1)由A?B,可知1+x2∈B且x∈B,逐個代入檢驗知x=1 符合題意,所以x=1。應選B。

(2)集合A={x∈R||x-4|≤2}=[2,6]。若集合B為空集,則2a＞a+3,即當a＞3時滿足題意;

若B不為空集,則2a≤a+3,即a≤3,由B?A得解得a∈[1,3]。

綜上可知,a∈[1,+∞)。應選B。

跟蹤訓練5：已知集合A={2,-1},集合B={m2-m,-1}。若A=B,則實數m等于( )。

A.2 B.-1

C.2或-1 D.4

提示：因為A=B,所以m2-m=2,解得m=2或m=-1。應選C。

題型六：定義法判斷充要條件

確定誰是條件,誰是結論;嘗試從條件推結論,若條件能推出結論,則條件是結論的充分條件,否則條件就不是結論的充分條件;嘗試從結論推條件,若結論能推出條件,則條件是結論的必要條件,否則條件就不是結論的必要條件。提醒:不能將“若p,則q”與“p?q”混為一談,只有“若p,則q”為真命題,才有“p?q”。

例6設集合A={1,a},B={1,2,3},則“a=3”是“B?A”的( )。

A.充分條件

B.必要條件

C.既不充分也不必要條件

D.既充分又必要條件

解：當a=3時,集合A={1,3},B={1,2,3},所以B?A正確,即“a=3”是“B?A”的充分條件。應選A。

跟蹤訓練6：若集合A={x|x＞0},則下列不等式是“a∈A”的充分不必要條件的是( )。

A.a＞-1 B.a＞1

C.a≥0 D.a＞0

提示：集合A={x|x＞0},當a＞1 時,a∈A,反之不成立,即為充分不必要條件。應選B。

題型七：充分性、必要性的證明

證明充要條件一般分為兩個步驟,即證明充分性和必要性這兩個方面。充分性就是要證明條件?結論,必要性就是要證明結論?條件。在證明之前,一定要先分清楚哪個是條件,哪個是結論。

例7已知x,y都是非零實數,且x＞y,求證的充要條件是xy＞0。

跟蹤訓練7：求證:一元二次方程ax2+bx+c=0 有一正根和一負根的充要條件是ac＜0。

提示：(必要性)因為方程ax2+bx+c=0有一正根和一負根,所以Δ=b2-4ac＞0且x1x2=＜0(x1,x2為方程的兩根),所以ac＜0。

(充分性)由ac＜0,可得Δ=b2-4ac＞0及x1x2=＜0(x1,x2為方程的兩根),所以方程ax2+bx+c=0有兩個相異實根,且兩根異號,即方程ax2+bx+c=0有一正根和一負根。

綜上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負根的充要條件是ac＜0。

題型八：利用充分條件、必要條件求參數的取值范圍

利用充分、必要、充要條件求參數范圍的解法步驟:化簡p,q兩命題;根據p與q的關系(充分、必要、充要條件)轉化為集合間的關系;利用集合間的關系建立不等式;求參數的取值范圍。

例8已知p:|x+1|＞2,q:x＞a,且?p是?q的充分不必要條件,則a的取值范圍是( )。

A.a≤1 B.a≤-3

C.a≥-1 D.a≥1

解：已知p:|x+1|＞2,可化為p:x＜-3或x＞1。

由題意可知,q中變量取值的集合是p中變量取值集合的真子集,所以a≥1。應選D。

跟蹤訓練8：已知p≥1,q:|x-a|＜2,若p是q的充分不必要條件,則實數a的取值范圍為( )。

A.(-∞,4] B.[1,4]

C.(1,4] D.(1,4)

提示：由,可得,解得2＜x≤3。由|x-a|＜2,可得a-2＜x＜a+2。

由p是q的充分不必要條件,可得解得1＜a≤4。故實數a的取值范圍為(1,4]。應選C。

題型九：全稱、特稱命題求參數

對于全稱命題“?x∈M,a＞f(x)(或a＜f(x))”為真的問題,實質就是不等式恒成立問題,通常轉化為求函數f(x)的最大值(或最小值),即a＞f(x)max(或a＜f(x)min)。對于特稱命題“?x0∈M,a＞f(x0)(或a＜f(x0))”為真的問題,實質就是不等式能成立問題,通常轉化為求函數f(x)的最小值(或最大值),即a＞f(x)min(或a＜f(x)max)。

A.(1,+∞) B.(-∞,2]

C.(1,2) D.(-1,2]

跟蹤訓練9：命題“已知y=x-1,?x∈R 都有m≤y”是真命題,則實數m的取值范圍是( )。

A.m≥-1 B.m＞-1

C.m≤-1 D.m＜-1

提示：由已知y=|x|-1,可得y≥-1。要使?x∈R,都有m≤y成立,只需m≤-1。應選C。

題型十：特稱命題的判斷

要判斷一個存在量詞命題是真命題,只要在限定集合M中,找到一個x,使p(x)成立即可;否則,這一存在量詞命題就是假命題。要判斷一個全稱量詞命題是真命題,需證明?x∈D,p(x)都成立。

例10指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并判斷它們的真假。

(1)?x∈N,2x+1是奇數。

(2)存在一個x∈R,使

(3)對任意實數a,|a|＞0。

解：(1)是全稱量詞命題。因為?x∈N,2x+1都是奇數,所以該命題是真命題。

(2)是存在量詞命題。因為不存在x∈R,使成立,所以該命題是假命題。(3)是全稱量詞命題。因為,所以|a|＞0不都成立,所以該命題是假命題。

跟蹤訓練10：現有下列命題:①有些自然數是偶數;②正方形是菱形;③能被6整除的數也能被3整除;④對于任意x∈R,總有。則所有存在量詞命題的個數是( )。

A.0 B.1 C.2 D.3

提示：命題①中含有存在量詞,是存在量詞命題。命題②中全稱量詞省略,可以敘述為“所有的正方形都是菱形”,是全稱量詞命題。命題③中全稱量詞省略,可以敘述為“一切能被6整除的數也都能被3整除”,是全稱量詞命題。命題④中有全稱量詞“總有”,是全稱量詞命題。應選B。

判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,然后寫出對應的否定命題,并判斷真假。

①不論m取何實數,關于x的方程x2+x-m=0必有實數根。②所有末位數字是0或5的整數都能被5整除。③某些梯形的對角線互相平分。④函數y=kx的圖像恒過原點。

提示:①是全稱量詞命題。其否定為“存在實數m,使得方程x2+x-m=0沒有實數解”,是真命題。②是全稱量詞命題。其否定為“存在末位數字是0 或5 的整數不能被5整除”,是假命題。③是存在量詞命題。其否定為“所有梯形的對角線不互相平分”,是真命題。④是全稱量詞命題。其否定為“存在實數k,使函數y=kx的圖像不過原點”,是假命題。