集合與常用邏輯用語核心考點綜合演練

■劉中亮(特級教師)

一、選擇題

1.若非空集合A,B,U滿足A∪B=U,A∩B=?,則稱(A,B)為U的一個分割,則集合U={1,2,3}的不同分割有( )。

A.5個 B.6個 C.7個 D.8個

2.下列關于集合的命題正確的個數是( )。

①很小的整數可以構成集合,②集合{y|y=2x2+1}與集合{(x,y)|y=2x2+1}是同一個集合,③這些數組成的集合有5個元素,④空集是任何集合的子集。

A.0 B.1 C.2 D.3

3.已知集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0},若集合A有且僅有兩個子集,則實數a的取值為( )。

4.(多選題)以下四個命題正確的是( )。

A.“a＞b”是“a2＞b2”的充分條件

B.“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要條件

C.“a＞b”是“a+c＞b+c”的充要條件

D.設a,b∈R,且ab≠0,若,則

5.(多選題)有以下說法,其中正確的為( )。

A.“x,y為無理數”是“xy為無理數”的充分條件

B.“x∈A∩B”是“x∈A”的必要條件

C.“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要條件

D.“x＞1”是“＜1”的充分不必要條件

6.(多選題)下列命題正確的是( )。

A.“實數都大于0”的否定是“實數都小于或等于0”

B.“三角形外角和為360°”是含有全稱量詞的真命題

C.“至少存在一個實數x,使得|x|≥0”是含有存在量詞的真命題

D.“能被3整除的整數,其各位數字之和也能被3整除”是全稱量詞命題

7.(多選題)下面命題正確的是( )。

A.“a＞1”是“＜1”的充分不必要條件

B.命題“若x＜1,則x2＜1”的否定是“存在x＜1,則x2≥1”

C.設x,y∈R,則“x≥2 且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分條件

D.設a,b∈R,則“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件

二、填空題

9.已知“x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)”是“x∈[k,k+1]”的必要不充分條件,則k的取值范圍是____。

10.對于任意實數a,b,c,①“a=b”是“ac=bc”的充分條件,②“a+b是無理數”是“a是無理數”的必要條件,③“a=b”是“a2=b2的充分條件,④“a＞b”是“a＞|b|”的必要條件。其中正確結論的序號為____。

11.已知集合A=(0,2),集合B=(-1,1),集合C={x|mx+1＞0},若(A∪B)?C,則實數m的取值范圍為____。

12.設p:-m≤x≤m(m＞0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分條件,則m的最大值為____,若p是q的必要條件,則m的最小值為_____。

三、解答題

13.已知a∈R,p:?x∈[1 ,3],x2-a≥0,q:方程x2+2ax+2=0無實數解。

(1)若p為真命題,求實數a的取值范圍。

(2)若“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實數a的取值范圍。

14.已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果命題“?m∈R,使得A∩B≠?”為假命題,求實數a的取值范圍。

15.設不等式(x-3a)(x-a-2)＜0的解集為A,B={x|x＜2},若x∈A是x∈B的充分不必要條件,求實數a的取值范圍。

16.已知命題p:“?x∈R,x2-2x+a=0”為假命題;命題q:“?x∈{x|1≤x≤2},x2+ax-8≤0”為真命題,求實數a的取值范圍。

17.設A為實數集,且滿足條件:若a∈A,則∈A(a≠1)。

求證:(1)若2∈A,則A中必還有另外兩個元素。

(2)集合A不可能是單元素集。

18.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,x∈R,a∈R}。

(1)若A是空集,求a的取值范圍。

(2)若A中只有一個元素,求a的值,并求集合A。

(3)若A中至多有一個元素,求a的取值范圍。

19.設p:實數x滿足x2-2ax-3a2＜0（a＞0）,q:2≤x＜4。

(1)若a=1,且p,q都為真命題,求x的取值范圍。

(2)若q是p的充分不必要條件,求實數a的取值范圍。

20.已知集合P={x|x2-3x+2≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}。

(1)是否存在實數m,使x∈P是x∈S的充要條件? 若存在,求出m的取值范圍,若不存在,請說明理由。

(2)是否存在實數m,使x∈P是x∈S的必要條件? 若存在,求出m的取值范圍,若不存在,請說明理由。

一、選擇題

1.提示:依題意可得,當集合A為{1}時,B為{2,3},當A為{2}時,B為{1,3},當A為{3}時,B為{1,2},同時對調A,B的位置,也可得到3 對集合,則符合條件的有6個。應選B。

2.提示:很小的整數可以構成集合是錯誤的,不滿足元素的確定性,①錯誤。集合{y|y=2x2+1}={y|y≥1},而{(x,y)|y=2x2+1}表示的集合為函數y=2x2+1圖像上的點,所以不是同一集合,②錯誤。1,2,這些數組成的集合有3個元素,而不是5個元素,③錯誤。空集是任何集合的子集,④正確。應選B。

4.提示:如2＞-3?/22＞(-3)2,A 為假命題。a2＞b2?|a|2＞|b|2?|a|＞|b|,B為真命題。a＞b?a+c＞b+c,a+c＞b+c?a＞b,即“a＞b”是“a+c＞b+c”的充要條件,C為真命題。當a,b異號時,雖然＜1,但是＜0,D 為假命題。應選BC。

6.提示:對于A,“實數都大于0”的否定是“存在實數小于或等于0”,A 錯誤。對于B,“三角形外角和為360°”含有全稱量詞,且為真命題,B 正確。對于C,“至少存在一個實數x,使得|x|≥0”含有存在量詞,且為真命題,C 正確。對于D,“能被3整除的整數,其各位數字之和也能被3 整除”是全稱量詞命題,D 正確。應選BCD。

7.提示:對于A,根據反比例函數的性質可知,由a＞1,能推出＜1,但由＜1,不能推出a＞1,如當a＜0時,符合＜1,但不符合a＞1,A 正確。對于B,根據命題的否定的定義可知,命題“若x＜1,則x2＜1”的否定是“存在x＜1,則x2≥1”,B 正確。對于C,由x≥2 且y≥2 能推出x2+y2≥4,但由x2+y2≥4不能推出x≥2 且y≥2,C 不正確。對于D,由a≠0,不能得到ab≠0,但由ab≠0,可得到a≠0,D 正確。應選ABD。

二、填空題

9.提示:由已知“x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)”是“x∈[k,k+1]”的必要不充分條件,可得[k,k+1](-∞,-2)∪(0,+∞),所以k+1＜-2或k＞0,解得k＜-3或k＞0,即k的取值范圍為{k|k＜-3或k＞0}。

10.提示:a=b?ac=bc,①正確。“a+b是無理數”與a是不是無理數沒有關系,②錯誤。a=b?a2=b2,③正確。a＞b?a＞|b|,④正確。答案為①③④。

11.提示:由題意得A∪B=(-1,2)。

三、解答題

13.提示:(1)由命題?x∈[1,3],x2-a≥0為真命題,可得a≤(x2)min。由x∈[1,3],可得(x2)min=1,所以a≤1。

14.提示:命題“?m∈R,使得A∩B≠?”為假命題,則其否定命題“?m∈R,A∩B=?”為真命題。當a＜0時,集合A={x|0≤x≤a}=?,符合A∩B=?。當a≥0時,因為m2+3＞0,又?m∈R,A∩B=?,所以a＜m2+3 對于?m∈R 恒成立,所以a＜（m2+3）min=3,所以0≤a＜3。綜上可得,實數a∈(-∞,3)。

15.提示:不等式(x-3a)(x-a-2)＜0,當3a＞2+a,即a＞1時,解集A={x|2+a＜x＜3a},若x∈A是x∈B的充分不必要條件,則AB,所以3a≤2,此時1＜a≤。

當3a=2+a,即a=1時,解集A=?,則AB,符合題意。

當3a＜2+a,即a＜1時,解集A={x|3a＜x＜2+a},若x∈A是x∈B的充分不必要條件,則AB成立,所以2+a≤2,此時a≤0。

綜上可得,a的取值范圍為或

16.提示:命題p:“?x∈R,x2-2x+a=0”為假命題,可得方程x2-2x+a=0無實數解,即Δ=4-4a＜0,解得a＞1。

命題q:“?x∈{x|1≤x≤2},x2+ax-8≤0”為真命題,可得解得a≤2。

綜上可得,a的取值范圍是{a|1＜a≤2}。

(2)若A為單元素集,則,即a2-a+1=0,此方程無實數解,所以a≠,所以集合A不可能是單元素集。

18.提示:(1)若A是空集,則方程ax2-3x+2=0無解,此時a≠0,Δ=9-8a＜0,所以a＞。

(2)若A中只有一個元素,則方程ax2-3x+2=0有且只有一個實根。

當a=0時,方程為一元一次方程,顯然滿足條件;當a≠0,此時Δ=9-8a=0,解得

故a=0或若a=0,則集合;若,則集合

(3)若A中至多有一個元素,則A為空集,或有且只有一個元素。

由(1),(2)得滿足條件的a的取值范圍

19.提示:(1)若a=1,則x2-2ax-3a2＜0 可化為x2-2x-3＜0,可得-1＜x＜3。

若q為真命題,則2≤x＜4。

所以當p,q都為真命題時,x的取值范圍是

(2)由x2-2ax-3a2＜0（a＞0）,可得-a＜x＜3a。

因為q:2≤x＜4,q是p的充分不必要條件,所以{x|2≤x＜4}{x|-a＜x＜3a},所以。故實數a的取值范圍是

20.提示:(1)P={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}。

要使x∈P是x∈S的充要條件,需滿足P=S,所以此方程組無解,所以不存在實數m,使x∈P是x∈S的充要條件。

(2)要使x∈P是x∈S的必要條件,則S?P。

當S=?時,由1-m＞1+m,解得m＜0,這時滿足題意;

當S≠?時,由1-m≤1+m,解得m≥0,要使S?P,需滿足解得m≤0,所以m=0。

綜上可得,當實數m≤0時,使x∈P是x∈S的必要條件。