基本不等式
———求最值的好方法

■譚 堯

基本不等式是高中數學的重要內容,也是高考的常考點,利用基本不等式求最值問題的常用方法有:正用a+b≥2,逆用,整體代換法,湊系數法,湊項法,分離常數法,平方法等。下面舉例分析。

一、正用a+b≥2

例1對任意的m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0恒成立,則實數a的最大值為( )。

評注：正用基本不等式求最值時,要求兩個正數的和的最小值,必須這兩個正數的積為定值。

例2若正實數x,y滿足x+y=2,且≥M恒成立,則M的最大值為( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

評注：逆用基本不等式求最值時,必須要求這兩個正數的和為定值。

三、整體代換法

例3已知a＞0,b＞0,且4a+b=4,則的最小值為_____。

評注：求解含有兩個變量的代數式的最值問題時,通常采用“整體代換法”或“常數1”的代換法,然后構造不等式求最值。

四、湊系數法

例4設,則函數y=x(9-10x)的最大值為____。

評注：本題無法直接運用基本不等式求最值,但湊系數后可得到和為定值,從而可利用基本不等式求出最大值。

五、湊項法

例5已知的最小值為8,則正數m的值為_____。

六、分離法

七、平方法

評注：將平方,根號下的兩數的“和為定值”,為利用基本不等式求最值創造了條件。