含參數不等式問題的處理策略

■楊家旺 楊子敬

■楊家旺 楊子敬

解含參數不等式問題,常常涉及對參數的分類討論,這是解含參數不等式問題的一個難點。下面就含參數不等式問題的處理策略進行分析。

題型一：能因式分解的一元二次不等式

例1解下列不等式。

(1)x2-ax-12a2＜0(a＜0)。

(1)由x2-ax-12a2＜0(a＜0),可得(x-4a)(x+3a)＜0。由4a＜0＜-3a,解得4a＜x＜-3a,所以不等式x2-ax-12a2＜0(a＜0)的解集為{x|4a＜x＜-3a}。

感悟：一元二次不等式能因式分解時,可借助兩根的大小關系,結合二次函數圖像,“以形助數”求出對應的解集。

題型二：二次項含參數且能因式分解的一元二次不等式

例2已知關于x的不等式ax2+3x+2＞0(a∈R)。

(1)若ax2+3x+2＞0的解集為{x|b＜x＜1},求實數a,b的值。

(2)求關于x的不等式ax2-3x+2＞ax-1的解集。

(1)因為ax2+3x+2＞0的解集為{x|b＜x＜1},所以方程ax2+3x+2=0的兩個根為b,1(b＜1)。

(2)由ax2-3x+2＞ax-1,可得ax2-(a+3)x+3＞0,即(ax-3)(x-1)＞0。

當a=0時,不等式為x-1＜0,可得解集為{x|x＜1}。

當a＜0時,不等式為0,可得解集為

感悟：解二次項含參數且能因式分解的一元二次不等式,可對參數進行分類討論,借助對應的二次函數圖像,“以形助數”求出對應的解集。

題型三：二次項含參數且不能因式分解的一元二次不等式

例3解關于x的不等式ax2+2x+1＜0。

二次項含參數且不能分解,因式需進行分類求解。

(1)當a=0時,不等式為2x+1＜0,解得x＜-,可得解集為

(2)當a＞0時,Δ=4-4a,函數f(x)=ax2+2x+1圖像的開口向上。

感悟：解二次項含參數且不能因式分解的二次不等式,可對參數進行分類討論,借助對應的二次函數,“以形助數”求出對應的解集。

題型四：含參數的根式不等式的求解問題

例4不等式的解集是( )。

A.{x|0≤x＜a}

B.{x|0＜x≤a}

C.{x|0≤x≤a}

D.{x|0＜x＜a}

由2x+a＞0,且a2-x2≥0,可得-＜x≤a。

綜上可得,不等式的解集是{x|0＜x≤a}。應選B。

感悟：解含參數的根式不等式,在根式有意義的條件下,借助平方化歸為含參數的二次不等式求解,要注意求得的解集應與根式有意義的解集求交集。

題型五：含參數的分式不等式的求解問題

例5已知a∈R,解不等式

感悟：含參數的分式不等式求解的關鍵是分類討論與等價轉化思想的應用。