充分條件、必要條件判斷的五個途徑

■顧 艷

充分條件、必要條件的判斷與應用貫穿于高中數學的始終,是高中數學中最基本的內容之一。下面結合實例,就充分條件、必要條件的常見判斷技巧與方法加以剖析,意在“拋磚引玉”。

一、特值法

特值法判斷充分、必要條件時,直接通過特殊值的選取,代入分析與判斷。特值法的關鍵是起到篩選作用,利用特殊值來確定不成立問題,由此判斷命題之間的推不出關系。

例1設a,b是實數,則“a＞b”是“a2＞b2”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

分析：直接選取特殊值判斷,進而確定命題成立的條件。

解：當a＞b時,如a=0,b=-1,a2＞b2不成立;反之,當a2＞b2時,如a=-1,b=0,a＞b不成立。所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要條件。應選D。

由于特值法判斷充分、必要條件的片面性和局限性,經常用于判斷命題不成立時的情況,而命題成立時就不能用特值法了。

二、定義法

定義法判斷充分、必要條件時,直接判斷“若p,則q”和“若q,則p”的真假情況即可。定義法的關鍵是看由條件推出結論,還是由結論推出條件,還是互相推出。

例2(多選題)下列結論中正確的是( )。

A.“x2＞4”是“x＜-2”的必要不充分條件

B.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件

C.若a,b∈R,則“a2+b2≠0”是“a,b不全為0”的充要條件

D.“x為無理數”是“x2為無理數”的必要不充分條件

分析：通過不等式的求解、三角形的形狀的判斷、代數關系式的值,以及數的性質特征等,結合充分、必要條件的定義,進而確定結論的正確性。

解：A 中,x＜-2?x2＞4,但x2＞4?x＞2或x＜-2,不一定只有x＜-2,A 正確。B中,AB2+AC2=BC2?△ABC為直角三角形,反之,若△ABC為直角三角形,當B或C為直角時,不能推出AB2+AC2=BC2,B錯誤。C中,a2+b2≠0?a,b不全為0,反之,由a,b不全為0?a2+b2≠0,C 正確。D 中,當x2為無理數時,x為無理數,反之不成立,D 正確。應選ACD。

定義法判斷充分、必要條件的本質就是判斷兩個命題之間的推出關系。

三、集合法

集合法判斷充分、必要條件,就是利用命題中對應集合的包含關系來分析與求解的。集合法的本質是回歸命題的集合本源,借助所對應的集合加以轉化求解。

例3設U為全集,A,B是集合,則“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

分析：利用集合法的思維切入,結合集合性質進行正向推理判斷,再利用集合中的Venn圖,進行逆向推理判斷。

解：若存在集合C使得A?C,B??UC,則可以推出A∩B=?。

若A∩B=?,由Venn 圖(如圖1)可知,存在A=C,同時滿足A?C,B??UC。

圖1

所以“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的充要條件。應選C。

集合A={x|x滿足條件p},B={x|x滿足條件q},若A?B,則p是q的充分條件;若A?B,則p是q的必要條件;若A=B,則p是q的充要條件;若AB,則p是q的充分不必要條件;若AB,則p是q的必要不充分條件。

四、等價法

等價法判斷充分、必要條件,就是利用原命題與其對應的逆否命題的等價關系來分析與求解的。

例4給定兩個條件p,q,若?p是q的必要不充分條件,則p是?q的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

分析：利用“?p是q的必要不充分條件”無法直接判斷,通過對逆否命題的判斷,結合等價關系可使問題迎刃而解。

解：因為?p是q的必要不充分條件,所以q??p,但?p?/q。其逆否命題為p??q,但?q?/p。所以p是?q的充分不必要條件。應選A。

等價法判斷充分、必要條件的本質就是建立原命題與其逆否命題之間的關系,即從逆向思維進行分析與判斷。p是q的充分不必要條件(必要不充分條件、充要條件),等價于?q是?p的充分不必要條件(必要不充分條件、充要條件)。

五、傳遞法

傳遞法判斷充分、必要條件,就是利用充分、必要條件具有傳遞性,即由p1?p2?…?pn,可得p1?pn。傳遞法是判斷含有三個及以上命題之間的關系時必須采用的一種基本方法。

例5已知p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,那么p是q成立的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

分析：通過命題p、q、r、s之間的遞推關系,結合傳遞性,可得p與q之間的遞推關系。

解：依題意得p?r,r?s,s?q,且r?/p,結合傳遞性得p?r?s?q。因為r?/p,所以q?/p,所以p是q成立的充分而不必要條件。應選A。

若p是q的充分(必要)條件,q是r的充分(必要)條件,則p是r的充分(必要)條件,即“p?q且q?r”,所以“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)。傳遞法判斷充分、必要條件時,要正確構建命題間的鏈接,同時考慮相互之間是否等價。

設甲是乙的必要條件,丙是乙的充分但不必要條件,那么( )。

A.丙是甲的充分條件,但不是甲的必要條件

B.丙是甲的必要條件,但不是甲的充分條件

C.丙是甲的充要條件

D.丙不是甲的充分條件,也不是甲的必要條件

提示:甲是乙的必要條件,所以乙是甲的充分條件,即乙?甲。丙是乙的充分但不必要條件,則丙?乙,乙?/丙,顯然丙?甲,甲?/丙,即丙是甲的充分條件,但不是甲的必要條件。應選A。