基本不等式求最值的題型及解題策略

■喻 芳

題型一：簡單的和或積為定值求最值

例1(1)已知x,y,z都是正實數,若xyz=1,則(x+y)(y+z)(z+x)的最小值為( )。

A.2 B.4

C.6 D.8

(2)已知0＜x＜1,則函數f(x)=x3(1-x3)的最大值為____。

感悟：基本不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R),當一端為定值時,另一端就可取到最值,且要注意兩個不等式適應的范圍和取等號的條件。

題型二：配湊法構造和或積為定值求最值

例2(1)已知x＜,求y=4x-2+的最大值。

(2)若x≥,則有( )。

C.最大值2 D.最小值2

感悟：形如的分式函數求最值,可化為0,B＞0),這里g(x)恒正或恒負,然后運用基本不等式求最值。

題型三：常數代換法求最值

例3已知p,q為正實數,且p+q=3,

感悟：常數代換法適用于求解條件最值問題。

題型四：消元法求最值

例4若正實數x,y,z滿足x2+4y2=z+3xy,則當取最大值時的最大值為____。

感悟：解決多元最值的方法是消元后利用基本不等式求解,但要注意所保留變量的取值范圍。

題型五：換元法求最值

例5若正數a,b滿足2a+b=1,則的最小值是____。

感悟：換元法求最值的關鍵是整體換元,利用構造的新元求最值。

題型六：構建不等式求最值

例6(1)已知正實數x,y滿足xy=x+y+8,則x+y的最小值為____。

(2)已知x,y∈R+,若x+y+xy=8,則xy的最大值為_____。

感悟：利用題設條件,借助基本不等式進行放縮,得到關于“和”或“積”的不等式,解此不等式可得“和”或“積”的最值。