巧用方程和不等式求解函數問題

■何秀月

方程是利用相等的數量關系構建而成的數學表達式,利用方程可以求出未知數的值或通過消元來減少未知數的個數;不等式是利用不相等的數量關系構建而成的數學表達式,利用不等式可以確定變量的取值范圍。下面以一道浙江省臺州市高一年級期末統考題為例,闡述巧妙利用方程和不等式求解函數問題的具體方法,以期達到拋磚引玉的效果。

題目已知函數f(x)=ax2+4x+b(a＜0,a,b∈R),設關于x的方程f(x)=0的兩個實根為x1,x2,f(x)=x的兩個實根為α,β,且|α-β|=1。

(1)若a,b均為負整數,求f(x)的解析式。

(2)若α＜1＜β,求(x1+a)·(x2+a)的取值范圍。

分析：題設給出的f(x)是一元二次函數,f(x)=0是函數f(x)對應的方程,利用關于x的方程,求出未知數a和b,再利用待定系數法求出f(x)的解析式;利用不等式α＜1＜β,確定實數a的取值范圍,進而確定(x1+a)·(x2+a)的取值范圍。

解：(1)由題設得f(x)=x的兩個實根為α,β,即方程ax2+3x+b=0 的兩個實根為α,β。由|α-β|=1,結合韋達定理得|α-,所以a2+4ab=9。

結合a,b均為負整數得所以f(x)的解析式為f(x)=-x2+4x-2。

(2)由已知條件可知,關于x的方程f(x)=0 的兩個實根為x1,x2,即ax2+4x+b=0 的兩個實根為x1,x2,所以已知方程f(x)=x的兩個實根為α,β,由|α-β|=1,結合韋達定理得a2+4ab=9,所以

已知α＜1＜β,a＜0,令g(x)=ax2+3x+b,結合二次函數的圖像與性質得