一元二次不等式的恒成立的基本類型與解題技巧

■孫新曉

一元二次不等式的恒成立及綜合應用問題,是高考中比較常見的熱點題型之一。解決這類問題,可以合理聯系一元二次不等式、一元二次方程和二次函數這三個“二次”問題,實現三個“二次”問題之間的相互轉化。下面就一元二次不等式的恒成立問題中最常見的三種基本類型,結合實例加以剖析,意在總結解題技巧與應試策略,探索解題規律與解題方法。

一、一元二次不等式在R上的恒成立問題

涉及一元二次不等式在R 上的恒成立問題,可將一元二次不等式問題轉化為相應的二次函數的圖像問題,利用不等式與二次函數圖像的開口情況,并結合判別式的取值進行轉化求解。

例1若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4＜0對一切x∈R 恒成立,則實數a的取值范圍是( )。

A.{a|a≤2}

B.{a|-2≤a≤2}

C.{a|-2＜a≤2}

D.{a|a＜-2}

分析：在解決一元二次不等式在R 上恒成立時,將一元二次不等式轉化為相應的二次函數的圖像問題,通過二次函數圖像的開口情況與判別式的取值范圍進行合理轉化,列出不等式來確定參數的取值范圍。

解：當a-2=0,即a=2時,原不等式可化為-4＜0,顯然對一切x∈R 恒成立;當a≠2時,則整理得解得-2＜a＜2。

綜上可得,實數a的取值范圍是{a|-2＜a≤2}。應選C。

在解決一元二次不等式在R 上恒成立問題時,往往涉及以下兩種情況:一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a≠0)對任意實數x∈R 恒成立?一元二次不等式ax2+bx+c＜0(a≠0)對任意實數x∈R 恒成立需要特別注意的是,只要二次項系數含參數,必須分類討論二次項系數是否為零的情況。

二、一元二次不等式在給定自變量范圍上的恒成立問題

涉及一元二次不等式在給定自變量范圍上的恒成立問題,可轉化為二次函數在給定自變量范圍上的最值問題來處理。在實際解題時,要注意自變量范圍對二次函數圖像的影響,可結合分類討論思想、數形結合思想進行直觀處理,凸顯數學的內在聯系和知識的綜合運用。

例2已知函數f(x)=mx2-mx-1,若對于任意x∈{x|1≤x≤3},f(x)＜5-m恒成立,則實數m的取值范圍是_____。

分析：利用所給不等式對應的二次函數,結合二次函數在給定自變量范圍上的圖像與性質的特征,確定相應參數的取值范圍。

解：要使不等式f(x)＜-m+5對任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立,只需不等式對任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立。解決此題有下面兩種方法。(函數法)令函數

當m=0時,顯然-6＜0恒成立;

當m＞0時,函數g(x)在{x|1≤x≤3}上是增函數,所以g(x)max=g(3),則g(3)=7m-6＜0,解得m＜,這時0＜m＜;

當m＜0時,函數g(x)在{x|1≤x≤3}上是減函數,所以g(x)max=g(1),則g(1)=m-6＜0,解得m＜6,這時m＜0。

綜上所述,所求實數m的取值范圍是

解決一元二次不等式在給定自變量范圍上的恒成立問題,有兩種常見的求解方法:函數法,若f(x)＞0在給定自變量范圍上恒成立,可利用一元二次函數的圖像轉化為不等式(組)求范圍;分離參數法,即轉化為函數值域問題,已知函數f(x)的值域為{y|m≤y≤n},則f(x)≥a恒成立,可得f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立,可得f(x)max≤a,即n≤a。

三、一元二次不等式在給定參數范圍上的恒成立問題

涉及一元二次不等式在給定參數范圍上的恒成立問題,可通過變換自變量與參數之間的關系,結合主元的變換,利用函數的圖像與性質求解。

例3若不等式x2+px＞4x+p-3,當0≤p≤4時恒成立,則實數x的取值范圍是( )。

A.{x|-1≤x≤3}

B.{x|x≤-1}

C.{x|x≥3}

D.{x|x＜-1}∪{x|x＞3}

分析：利用參數的取值范圍,變換主元,構建相應的不等式,進而轉化為一次函數的圖像問題求解;也可借助特殊值法來處理,即通過端點的選取,實現巧妙排除,即可得解。

(特殊值法)當x=-1 時,由不等式x2+px＞4x+p-3,代入得p＜4,即x=-1不符合條件,排除A、B。當x=3 時,由不等式x2+px＞4x+p-3,代入得p＞0,即x=3不符合條件,排除C。應選D。

解決一元二次不等式在給定參數范圍上的恒成立問題,一定要清楚區分主元與參數。一般情況下,知道參數范圍的,就選為主元,求參數范圍的,就選為參數。在實際解題過程中,就是把變元與參數交換位置,構造以參數為變量的函數,變換主元后得到一次函數或二次函數,進而根據原變量的取值范圍求解。

若不等式kx2-6kx+k+8≥0 的解集為R,則實數k的取值范圍是( )。

A.0≤k≤1 B.0＜k≤1

C.k＜0或k＞1 D.k≤0或k≥1

提示:由于不等式kx2-6kx+k+8≥0的解集為R,分以下兩種情況討論:①當k=0時,則8≥0,符合題意;②當k≠0 時,則解得0＜k≤1。綜上所述,0≤k≤1。應選A。