含有量詞命題的真假判斷技巧

■陳榮慶

含有量詞命題(全稱量詞命題、存在量詞命題)的真假判斷及其綜合應(yīng)用問(wèn)題,是比較常見(jiàn)的一種基本題型,也是高考的常考題型。判斷全稱量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素x,證明p(x)成立;判斷存在量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)x=x0,使p(x0)成立即可。由此,產(chǎn)生一些與之相關(guān)的命題真假的判斷技巧與方法。

一、特值法判斷真假

含有量詞命題的真假判斷中,有時(shí)可以通過(guò)特殊值、特殊元素等進(jìn)行合理驗(yàn)證,根據(jù)特殊值代入原問(wèn)題,即可判斷命題的真假。特值法經(jīng)常用來(lái)判斷存在量詞命題是真命題或用來(lái)判斷全稱量詞命題為假命題。

例1(多選題)下列命題中的假命題是( )。

A.?x∈R,tanx=1

B.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x2≤0

C.?x∈R,2x＞x2

D.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)

分析：根據(jù)題設(shè)條件,A、B是存在量詞命題,C、D 是全稱量詞命題。通過(guò)特殊值代入對(duì)應(yīng)的命題,分析與判斷命題的真假。

解：A 中,當(dāng)x=45°時(shí),tanx=1,所以此命題為真命題。B中,當(dāng)x=0時(shí),x2=0≤0,所以此命題為真命題。C 中,當(dāng)x=2 時(shí),2x=x2=4,不滿足2x＞x2,所以此命題為假命題。D 中,當(dāng)兩個(gè)無(wú)理數(shù)分別為時(shí),其和不是無(wú)理數(shù),所以此命題為假命題。應(yīng)選CD。

在存在量詞命題中,特殊值代入使得結(jié)論成立時(shí),則可以判斷該命題為真命題;在全稱量詞命題中,特殊值代入使得結(jié)論不成立時(shí),則可以判斷該命題為假命題。

二、反例法判斷真假

含有量詞命題的真假判斷中,當(dāng)直接判斷存在一定困難時(shí),借助相應(yīng)的反例來(lái)判斷更加有效。反例法常用來(lái)判斷全稱量詞命題的真假。

例2(多選題)現(xiàn)有下列命題,其中真命題是( )。

A.?x∈R,-x2＜0

B.所有素?cái)?shù)都是奇數(shù)

C.?x∈R,x2-x-1=0

D.若p:?x∈N,x2≥1,則?p:?x∈N,x2＜1

分析：根據(jù)題設(shè)條件,A、B 中通過(guò)舉反例,利用特殊值的選取來(lái)判斷命題的真假。C中,利用方程的解進(jìn)行判斷。D 中,全稱量詞命題的否定是存在量詞命題。

解：A 中,當(dāng)x=0 時(shí),-x2=0,所以此命題為假命題。B中,因?yàn)?是素?cái)?shù),但其不是奇數(shù),所以此命題為假命題。C 中,由方程x2-x-1=0,解得,所以此命題為真命題。D 中,因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題,所以此命題為真命題。應(yīng)選CD。

在全稱量詞命題中,特殊值代入使得結(jié)論不成立時(shí),則可以判斷該命題為假命題。

三、綜合法判斷真假

含有量詞命題的真假判斷中,借助相關(guān)知識(shí)間的綜合、條件間的關(guān)聯(lián)等進(jìn)行必要的邏輯推理,利用綜合法,通過(guò)推理分析來(lái)判斷命題的真假。

例3(多選題)下列命題中的真命題是( )。

A.?x∈Z,x2的個(gè)位數(shù)字不等于3

B.設(shè)非空集合P,Q滿足P∩Q=P,?x?Q,都有x?P

C.存在鈍角三角形的內(nèi)角不是銳角或鈍角

D.?x∈(0,1),x2=

分析：通過(guò)對(duì)命題進(jìn)行合理的推理與分析,將數(shù)的運(yùn)算、集合的運(yùn)算、三角形的性質(zhì)、函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識(shí)加以交匯與融合,進(jìn)行綜合推理與分析。

解：A 中,?x∈Z,其個(gè)位數(shù)字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,則x2的個(gè)位數(shù)字是0,1,4,5,6,9,不可能等于3,符合題意,所以此命題為真命題。B中,由P∩Q=P,可知P?Q,則?x∈P,都有x∈Q,此時(shí)該命題為真命題,則其逆否命題為:?x?Q,都有x?P,根據(jù)原命題與逆否命題的關(guān)系知其也是真命題。C中,因?yàn)槿我獾拟g角三角形,其內(nèi)角和是180°,所以對(duì)應(yīng)的內(nèi)角是兩個(gè)銳角和一個(gè)鈍角,所以此命題為假命題。D 中,作出函數(shù)y=x2與的圖像(圖略),結(jié)合圖像可知交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),故不符合題意,此命題為假命題。應(yīng)選AB。

結(jié)合各命題中相關(guān)知識(shí)加以展開(kāi)與綜合,或邏輯推理,或數(shù)學(xué)運(yùn)算,然后直接分析與判斷相關(guān)命題的真假,這是判斷此類命題的真假時(shí)比較常用的技巧與方法。

四、否定法判斷真假

全稱量詞命題或存在量詞命題的真假判斷,可以轉(zhuǎn)化為原命題的否定的真假判斷。原命題是真命題(或假命題),其對(duì)應(yīng)的否定就是假命題(或真命題)。

例4判斷下列命題的真假。

(1)?x∈R,使得-x2-1≥0。

(2)存在一個(gè)負(fù)數(shù)x,使得

分析：判斷命題的真假需要進(jìn)行必要的邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算,而通過(guò)命題的否定,直接分析否定命題的真假,從而可得原命題的真假。

解：(1)中命題的否定:?x∈R,-x2-1＜0。

因?yàn)?x∈R,-x2≤0,所以-x2-1≤0-1＜0,即-x2-1＜0成立,該命題的否定為真命題,所以(1)中的命題為假命題。

(2)中命題的否定:任意一個(gè)負(fù)數(shù)x,都有

因?yàn)槿我庖粋€(gè)負(fù)數(shù)x,都有成立,該命題的否定為真命題,所以(2)中的命題為假命題。

否定法判斷全稱量詞命題或存在量詞命題的真假時(shí),往往先把相應(yīng)的命題加以否定,通過(guò)判斷對(duì)應(yīng)否定命題的真假,再反過(guò)來(lái)判斷原命題的真假。利用否定法的轉(zhuǎn)化來(lái)判斷命題的真假,有時(shí)可以更容易判斷。

1.若x∈A,且∈A,則稱A是伙伴關(guān)系 集 合。 集 合3,4}的所有非空子集中,具有伙伴關(guān)系的集合個(gè)數(shù)為( )。

A.15 B.16 C.64 D.128

2.若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B∩A=B,則實(shí)數(shù)m的取值集合為_(kāi)___。