集合與常用邏輯用語典型題型解析

■孫艷秋

集合與常用邏輯用語是高中數學課程的預備知識,它是后續學習數學表達和交流的重要工具,所以要打好基礎,在理解有關概念和性質的基礎上,掌握集合與常用邏輯用語的典型題型。

一、含參數的集合運算問題

例1已知集合A={x|x＜a},B={x|x2-3x+2＜0},且A∪(?RB)=R,則實數a的取值范圍是( )。

解：因為B={x|x2-3x+2＜0}={x|1＜x＜2},所以?RB=(-∞,1]∪[2,+∞)。又A={x|x＜a},且A∪（ ?RB）=R,所以實數a的取值范圍是{a|a≥2}。應選C。

提煉：與不等式有關的集合問題,一般利用數軸可以幫助解決,但要注意端點值能否取到。

二、以集合為背景,設置新定義

例2若一個n位正整數的所有數位上數字的n次方和等于這個數本身,則稱這個數是自戀數,已知所有1 位正整數的自戀數組成集合A,集合則A∩B真子集的個數為( )。A.3 B.4 C.7 D.8

解：結合新定義可知,集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}。因為B={x∈Z|-3＜x＜4},所以A∩B={1,2,3},所以A∩B真子集的個數為23-1=7。應選C。

提煉：解決集合新定義問題的兩個切入點:分析新定義的特點,弄清新定義的性質,按新定義的要求“照章辦事”;合理利用集合的性質。

三、充分條件與必要條件

例3(1)已知命題p:一元二次方程x2+bx+c=0 有一正根和一負根,q:c＜0,則p是q的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

(2)已知命題p:關于x的方程x2-4x+a=0無實根,若p為真命題的充分不必要條件為a＞3m+1,則實數m的取值范圍是( )。

A.[1,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,1) D.(-∞,1]

解：(1)因為方程x2+bx+c=0有一正根和一負根,所以

所以p?q,q?p,即p是q的充要條件。應選C。

(2)因為p為真命題,所以Δ=(-4)2-4a＜0,解得a＞4。若p為真命題的充分不必要條件為a＞3m+1,則等價于(3m+1,+∞)(4,+∞),所以3m+1＞4,解得m＞1。應選B。

提煉：在A是B的____條件中,A是條件,B是結論,在A的_____條件是B中,B是條件,A是結論。A?B與?B??A,A?B與B?A是等價關系。若A?B,則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B,則A,B互為充要條件。

四、全稱量詞與存在量詞

例4已知命題p:?x∈R,x2+2x+1＞0。寫出命題p的否定;判斷命題p的真假,并說明理由。

解：由命題p:?x∈R,x2+2x+1＞0,可得命題p的否定為?x0∈R,x20+2x0+1≤0。因為y=x2+2x+1=(x+1)2≥0(當且僅當x=-1時取等號),所以命題p為假命題。

提煉：判斷全稱量詞命題是真命題,需證明都成立;判斷存在量詞命題是真命題,只要找到一個成立即可,當一個命題的真假不易判斷時,可以先判斷其否定的真假。