生日悖論

◎ 克里斯蒂安·黑塞

前陣子我給政府部門打了個電話，工作人員需要我提供出生日期，以便驗證我的身份。我說完我的生日，她很開心地告訴我她的生日和我在同一天：“這是多罕見的巧合啊。”

但是真的是這樣嗎？生日在同一天真的罕見嗎？

數學上的概率計算顯示，在隨機選擇的23 個人中，有2人在同月同日出生的概率就能達到50%。

很多人都會覺得這個結論特別不可思議。無論如何一年都有365 天，如果閏年的話甚至還要多1 天，怎么可能這么少的人數就能讓“有2 個人在同一天生日”的可能性達到50%呢？數學家理查德·馮·米澤斯（Richard von Mises）把這種現象稱為“生日悖論”。

讓我們來思考一下，為什么這么少的人數就足夠使概率達到50%呢？顯而易見，我們的直覺讓我們把這個問題和另一個問題弄混了：“最少需要有多少人，才能保證有1 個人在特定的一天（比如在我的生日那天）也過生日的概率達到50%？”

實際上，上述這個問題的正確答案是：要比23 人多得多——至少需要253 人。這是因為，通過計算可以發現，23個人能組成23×22/2=253 [若將23 人從1 到23 編號，1 號可以與2 號至23 號中的每一個人比較，因此，1 號可以組成22 個比較組。與此同理，2 號可以與3 號至23 號中的每一個人比較（2 號與1 號的比較組已經計算過了），2 號可以組成21 個比較組。以此類推，最終有22+21+20+…+2+1=(22+1)×22/2個比較組]個生日比較組（任意2 個人的生日都可組成一組）。也就是說，與特定的生日（比如我的生日）進行比較時，同樣需要253 個生日比較組才能使“生日與我在同一天的概率”達到50%。當“我”是確定的時候，只需要隨機找253 個人，就能形成和“我”的生日進行比較的253 個比較組了。

換一種表達方式，在開場陣容為23 人（兩支球隊各11人，裁判1 人）的足球比賽中，2 人在同一天過生日的概率達到50%。

（從容摘自《5 分鐘怪誕數學：那些看似不可能的生活真相》 圖/雨田）