量子力學(xué)不確定原理的教學(xué)方法探索

郭曉通 劉萬芳

摘?要：在量子力學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，不確定原理一直是重點和難點。結(jié)合量子力學(xué)史，介紹不確定原理提出的背景和不同物理學(xué)家對該理論的理解，從而引導(dǎo)出對不確定原理的正確解釋。有助于學(xué)生對不確定原理的學(xué)習(xí)，同時加深了學(xué)生對不確定原理認(rèn)識和理解，并激發(fā)學(xué)生對量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，從而提高了該課程的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：不確定原理；量子力學(xué)

中圖分類號：O413.1??文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

量子力學(xué)是為了研究微觀粒子運動規(guī)律而誕生的一門科學(xué)理論，也是現(xiàn)代物理學(xué)的重要基礎(chǔ)理論之一［12］。因此，許多的物理學(xué)理論都是建立在量子力學(xué)的基礎(chǔ)上，比如固體物理學(xué)、核物理學(xué)、粒子物理學(xué)和粒子天體物理以及其他相關(guān)的學(xué)科。然而，量子力學(xué)中存在著許多令人難以理解的理論，比如波函數(shù)的統(tǒng)計解釋、不確定原理等。這些理論不僅是量子力學(xué)的核心內(nèi)容，也是量子力學(xué)區(qū)別于經(jīng)典理論的內(nèi)容。為了能更好地讓學(xué)生理解和掌握量子力學(xué)中的基本原理，我們嘗試結(jié)合它的發(fā)展史來講解該課程。

不確定原理是量子力學(xué)的重要原理之一。在量子力學(xué)課程中，不確定原理的講述與學(xué)生建立該課程的圖像有著直接關(guān)系。然而遺憾的是，教學(xué)中往往并不能使學(xué)生真正地理解該原理。其根源與課本中對不確定原理的講述有著直接的關(guān)系，即：由電子單縫實驗出發(fā)推導(dǎo)出不確定原理，或由算符不對易關(guān)系出發(fā)推導(dǎo)出廣義不確定原理。為了讓學(xué)生理解不確定原理，本文由量子力學(xué)發(fā)展中遇到的問題出發(fā)，引出不確定原理的提出，以及不同物理學(xué)家對該理論的理解，再到對不確定原理的正確解釋和推導(dǎo)過程，從而使學(xué)生更清楚地理解不確定原理的正確物理意義，并激發(fā)學(xué)生對量子力學(xué)的興趣。

1?不確定原理的基本內(nèi)容

經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點的運動狀態(tài)可以用它的位置r→和動量p→構(gòu)成的相空間（r→，p→）來描述。因此，我們可以同時并準(zhǔn)確地測量該質(zhì)點在每一時刻質(zhì)點的位置、動量、能量等信息。然而，在量子力學(xué)中，一個運動粒子的位置和它的動量不可被同時確定。只能將該粒子位置和動量變化量之積限制在一定范圍內(nèi)，即Δx·Δp/2。該關(guān)系稱為（狹義的）不確定原理，又稱測不準(zhǔn)原理。該關(guān)系主要是由于位置和動量算符不對易，使得這兩個力學(xué)量無法同時被測量，從而得到了Δx·Δp/2。對于任意兩個不對易的算符F︿和G︿，就可以得到廣義的不確定原理：ΔF·ΔG1/2|F︿，G︿|［1］。

2?不確定原理的提出的原因與解釋

2.1?不確定原理提出的歷史背景

不確定原理是由矩陣力學(xué)的創(chuàng)始人海森堡（Heisenberg）在1927年提出的。為了更清楚地了解不確定原理的發(fā)展，首先了解矩陣力學(xué)建立的背景。

1925年，海森堡由于花粉過敏，所以不得不短暫地離開了哥本哈根的理論物理研究所。為了躲避花粉，海森堡選擇了去海島上度假。盡管海森堡名義上是去度假，但他仍然在思考量子力學(xué)有關(guān)問題。在量子力學(xué)中，最重要的問題就是玻爾的氫原子模型。玻爾的原子模型里面有個人為的假設(shè)，就是電子圍繞原子核在特定的軌道上運動，而且這些軌道是量子化的。海森堡在海島上精神充分放松，就開始思考原子的軌道。玻爾和索末菲都說有軌道，但誰見過電子的運動軌道呢？沒有看見的東西為什么要說一定存在？于是海森堡拋棄了軌道的概念，僅僅認(rèn)為電子是在不同能級之間的躍遷。海森堡將觀測量整理成表格（矩陣），這些表格代入計算很容易得出由一個能級躍遷到另一個能級釋放出的光子能量。于是海森堡將其整理成文章發(fā)表了，史稱“一個人的paper”［3］。這也標(biāo)志著矩陣力學(xué)的誕生。隨后，約爾丹、玻恩、泡利、玻爾發(fā)展并完善了矩陣力學(xué)［45］。

盡管矩陣力學(xué)能夠很好地解釋氫原子的光譜，但仍存在一些難以理解問題，例如：力學(xué)量（矩陣）為什么不滿足乘法交換律？為什么力學(xué)量先測和后測的結(jié)果不一樣？即先測量粒子的位置再測量動量與先測量動量再測量位置得到的結(jié)果不一樣。這是為什么？

2.2?不確定原理提出與海森堡的解釋

由于海森堡是矩陣力學(xué)的創(chuàng)始人，所以他一直在思考上面的幾個問題。有一天，海森堡突然意識到，微觀粒子如此小，測量本身是不是會對粒子的性質(zhì)產(chǎn)生較大的影響，從而使得它的性質(zhì)測不準(zhǔn)。1927年，海森堡就推導(dǎo)出了粒子位置和動量變化量之積必須要大于普朗克常數(shù)，即

Δx·Δph（1）

海森堡并把其撰寫為論文《論量子理論運動學(xué)與力學(xué)的物理內(nèi)涵》［6］。為了解釋不等式（1），海森堡在他的文章中提出了一個思想實驗。利用顯微鏡來測量粒子的位置和動量的思想實驗（如圖1所示）。顯微鏡的分辨率越高，測量出粒子的位置越精確。顯微鏡的分辨率與波長成反比例，即要想測量位置越準(zhǔn)確，就需要用波長越短的光。而測量粒子的動量時，需要利用光子來撞擊粒子，并找出反彈后的光子，從而計算出此刻粒子的動量。然而，光子撞擊粒子之后就會改變粒子動量，使得粒子的動量測量不準(zhǔn)確。要想粒子動量測量越準(zhǔn)確，就需要采用波長越長的光子去撞擊該粒子。若采用波長較長的光，粒子的動量能夠準(zhǔn)確地測量，但粒子的位置就不能準(zhǔn)確地測量。若采用波長較短的光，粒子的位置能夠準(zhǔn)確地測量，但粒子的動量就不能準(zhǔn)確地測量。所以海森堡得出結(jié)論，同時準(zhǔn)確測量位置和動量是不可能的。

2.3?玻爾對不確定原理的理解與解釋

海森堡發(fā)表不確定原理的論文時，玻爾正好離開了哥本哈根理論物理研究所，去挪威度假。于是海森堡將論文抄了一份寄給玻爾。玻爾看到這篇論文之后，立馬收拾行李回了哥本哈根。他們見面后，海森堡希望玻爾能給自己這篇論文提點意見。于是玻爾就問海森堡，他的測不準(zhǔn)原理有沒有考慮波的問題？由于海森堡不喜歡薛定諤的波動理論，所以他就沒有考慮波的問題。玻爾告訴海森堡，他對不確定原理的理解是觀察者效應(yīng)，觀察者的測量行為影響到了結(jié)果。實際上，不確定原理的本質(zhì)是粒子波粒二象性的表現(xiàn)，不是觀察者效應(yīng)。海森堡對玻爾的說法表示堅決反對，于是與玻爾產(chǎn)生了激烈的爭執(zhí)。最后，泡利從哥廷根坐火車來到哥本哈根，目的就是為了解決海森堡和玻爾之間的爭執(zhí)。這次關(guān)于不確定原理的爭論僅僅是哥本哈根學(xué)派內(nèi)部的一次論戰(zhàn)，最后以玻爾獲勝告終。

隨后，在1929年，羅伯遜（Robertson）將不確定原理推廣到了任意兩個算符，并得到了廣義的不確定原理：ΔF·ΔG1/2|F︿，G︿|［7］。對于時間和能量的對易關(guān)系，可以寫為ΔE·Δt1/2。

2.4?愛因斯坦和玻爾關(guān)于不確定原理的論戰(zhàn)

在大部分物理學(xué)家都了解了量子力學(xué)的不確定原理之后，第二次關(guān)于不確定原理的論戰(zhàn)也即將拉開了序幕。索爾維會議上，愛因斯坦、玻爾、以愛因斯坦為代表的反對派、以玻爾為代表的哥本哈根學(xué)派和以居里夫人為代表的實驗派。首先，愛因斯坦在會議上提出了一個“愛因斯坦光子箱”的思想實驗。其目的就是要證明不確定原理是錯誤的。愛因斯坦設(shè)想了一個密封的箱子，箱子里存在大量的輻射光子，并且在箱壁還存在一個可以用快門來精準(zhǔn)控制的小孔，如圖2左側(cè)所示。實驗時，先測量箱子質(zhì)量一次。控制快門非常準(zhǔn)確，可以在Δt內(nèi)釋放一個光子，Δt非常小。通過時鐘的指針，就可得知光子離開光子箱的確切時間了。當(dāng)光子箱釋放一個光子后，再次測量箱子質(zhì)量，計算出減少的光子質(zhì)量，從而利用E=mc2可以準(zhǔn)確地計算出光子的能量。這樣測量光子的能量和測量時間是獨立進(jìn)行的，互不干涉，都可準(zhǔn)確測量，所以不確定原理不成立。

第二天，玻爾對愛因斯坦的“光子箱”實驗進(jìn)行了合理改進(jìn)，并證明了不確定原理仍是成立的。玻爾認(rèn)為測量是需要工具的，所以要想測量“光子箱”的質(zhì)量，需要用到彈簧秤，于是波爾在愛因斯坦的“光子箱”上添加了一個彈簧秤，如圖2右側(cè)所示。當(dāng)控制快門打開時，光子從“光子箱”中飛出，“光子箱”質(zhì)量減小，彈簧秤收縮，“光子箱”向上運動，所處的引力場發(fā)生微小變化。根據(jù)廣義相對論，在不同的引力場處，時間的流逝是不相同的，控制快門的時間不是準(zhǔn)確的。另外，從引力勢能較低處運動到較高處時，光子將發(fā)生紅移，光子的能量也會有微小的變化。波爾根據(jù)這兩點進(jìn)行了簡單的計算，發(fā)現(xiàn)測不準(zhǔn)原理仍是正確的［8］。

3?不確定原理的證明過程

在1929年，羅伯遜已經(jīng)給出了廣義不確定原理的嚴(yán)格證明。下面，我們結(jié)合羅伯遜的證明過程，由兩個算符的不對易關(guān)系導(dǎo)出廣義的不確定原理。

設(shè)力學(xué)量算符F︿和G︿（厄米算符）是不對易的，其對易關(guān)系寫為：

F︿，G︿=F︿G︿-G︿F︿=ik︿，

其中，k︿是一個算符或普通的數(shù)。以F-、G-和k-依次表示F︿、G︿和k︿在任意態(tài)ψ中的期望值。令ΔF︿=F︿-F-，ΔG︿=G︿-G-。則ΔF︿和ΔG︿也為厄米算符，它們的對易關(guān)系寫為：

ΔF︿，ΔG︿=F︿-F-G︿-G--G︿-G-F︿-F-=F︿G︿-G︿F︿=ik︿，（1）

設(shè)一個態(tài)函數(shù)φ=ξΔF︿+iΔG︿ψ，其中ξ是參數(shù)。考慮積分I（ξ）=∫φφdτ=∫φ2dτ0，積分區(qū)域是變量變化的整個空間。因為被積函數(shù)是絕對值的平方，所以該積分I（ξ）是大于等于0的。將積分中的平方項展開，可得：

I（ξ）=∫ψΔF︿-iΔG︿ξΔF︿+iΔG︿ψdτ

=ξ2∫ψΔF︿2ψdτ+∫ψΔG︿2ψdτ+iξ∫ψΔF︿，ΔG︿ψdτ

將式（1）代入，得：

I（ξ）=ΔF︿2ξ2+ΔG︿2-k-ξ0

利用平方和不等式a2+b22ab，上式可化簡為：

2ξ?ΔF︿2·?ΔG︿2-k-ξ0

再化簡為：

ΔF︿2·?ΔG︿2k-2=12［F︿，G︿］

可以簡寫為：

ΔF︿·ΔG︿12［F︿，G︿］

這就是任意力學(xué)量F和G在任何態(tài)下的漲落必須滿足的關(guān)系式，即廣義的不確定原理。

4?總結(jié)

本文結(jié)合量子力學(xué)發(fā)展史介紹量子力學(xué)中的一節(jié)內(nèi)容——不確定原理。首先介紹了海森堡對不確定原理的理解，他認(rèn)為不確定原理是由觀察者效應(yīng)引起的。隨后介紹了玻爾對不確定原理的理解，從而引出不確定原理的正確解釋，其本質(zhì)是粒子波粒二象性的表現(xiàn)，不是觀察者效應(yīng)。另外，還介紹了愛因斯坦和玻爾關(guān)于不確定關(guān)系的論戰(zhàn)。最后，進(jìn)行了廣義不確定原理的嚴(yán)格推導(dǎo)。通過學(xué)習(xí)相關(guān)物理學(xué)家的思維歷程，讓學(xué)生了解不確定原理提出的原因，使學(xué)生能更容易接受該理論。通過玻爾與愛因斯坦關(guān)于不確定原理的論戰(zhàn)，加深了學(xué)生對不確定原理的認(rèn)識和理解，另外避免了學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生與愛因斯坦類似的想法。通過介紹相關(guān)物理學(xué)家對不確定原理的認(rèn)識和理解，激發(fā)了學(xué)生對不確定原理和量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到了課程教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

［1］周在勛.量子力學(xué)教程［M］.人民教育出版社，1979.

［2］曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)卷Ⅰ［M］.科學(xué)出版社，2000.

［3］Heisenberg，W.，ber?quantentheoretische?Umdeutung?kinematischer?und?mechanischer?Beziehungen.Zeitschrift?fur?Physik，1925，33（1）：879893.

［4］Born，M.and?Jordan，P.，Zur?Quantenmechanik，Zeitschrift?fur?Physik，1925，34（1）：858888.

［5］Born，M.，Heisenberg，W.，and?Jordan，P.，Zur?Quantenmechanik.II..Zeitschrift?fur?Physik，1926，35（89）：557615.

［6］Heisenberg，W.，ber?den?anschaulichen?Inhalt?der?quantentheoretischen?Kinematik?und?Mechanik.Zeitschrift?fur?Physik，1927，43（34）：172198.

［7］Robertson，H.P.，The?Uncertainty?Principle.Physical?Review，1929，34（1）：163164.

［8］郭奕玲，沈慧君.物理學(xué)史：第2版［M］.清華大學(xué)出版社，2005.

基金項目：2021年引進(jìn)博士科研啟動費（211014）

作者簡介：郭曉通（1990—?），男，漢族，理學(xué)博士，安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院講師，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向為天文學(xué)活動星系核。