整合教學內容 促進整體理解

■劉才云

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱新課標）提出“改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯”。基于以上要求，筆者對幾何教學內容中的眾多定理進行再思考，在數學教研組集體備課時做了深入研討。全組教師形成比較一致的觀點：要整合教學內容，促進學生在聯系中整體理解教學內容。下面是研討心得，以供更多同行參考、討論。

一、從聯系的角度，分析、整合幾何教學內容

我們基于聯系的角度，分析初中幾何教學內容，打破原先以課時為順序的教學方式，對平行線的判定與性質、全等三角形的判定方法、角平分線（線段垂直平分線）的性質與判定、等腰三角形等內容進行了整合，下面分別展開解讀。

1.平行線的判定與性質

一般來說，研究幾何對象的順序是定義、判定與性質。比如，研究平行線的判定時，教師可以引入一條截線，生成8 個角（“三線八角”），依據教材，定義這8 個角的名稱（同位角、內錯角與同旁內角），然后從“三線八角”的數量關系來研究兩條直線是否平行的位置關系；反過來，從兩條直線的平行關系，研究“三線八角”的數量關系。這樣的“正反”研究方式是幾何研究的“基本套路”，應該整合在一個單元（學情較好，可以整理在一個課時）中進行整體教學，有利于學生整體感知平行線的判定與性質。至于平行線的判定與性質的例、習題教學，教師可以在后續課時中集中進行習題鞏固訓練與講評。

2.全等三角形的判定方法

不少版本的教材上關于全等三角形的不同判定方法是按課時逐一學習的，比如“邊邊邊”安排一課時，“邊角邊”安排一課時，等等。從單元整體教學的角度考慮，教師也可以在第1課時，讓學生從全等三角形的定義出發，發現運用定義法來證明兩個三角形全等需要太多的條件。教師提出問題：“能不能少一點條件呢？”經過討論、列舉以及舉反例，最后聚焦在三個條件（至少有一組邊對應相等）的不同組合上，再通過畫圖、疊合驗證，梳理出全等三角形判定的方法（新課標稱“SAS”“ASA”“SSS”為“基本事實”）。以上內容是單元整體教學的思路，根據學情可能需要1～2課時才能完成，至于具體的例、習題的鞏固訓練，要到第3或第4課時再安排。

此外，人教版、蘇科版教材都是將直角三角形的比較特殊的一種全等判定方法（HL）的內容安排在一般三角形的全等判定之后，而且只給出畫圖驗證，并沒有給出具體的推理證明（只是說明這是一個“定理”，我們在后續進行證明）。而查閱新課標會發現，在三角形全等的判定方法內容中并沒有“連續”提及“HL”定理，而是在直角三角形、勾股定理之后提到了“探索并掌握判定直角三角形全等的‘斜邊、直角邊’定理”。對比來說，筆者認為，一般三角形的全等判定方法作為一個單元整體建構更加合適，而直角三角形的全等方法可以安排在等腰三角形的性質之后再學習，到時也可借助等腰三角形的性質進行證明。

3.角的平分線與線段垂直平分線

人教版教材中，學生在學習了全等三角形之后就“連續”進行判定定理、角平分線性質的學習，而到了下一章學習軸對稱與軸對稱圖形時，再學習線段垂直平分線的有關內容。筆者認為，角平分線的性質與判定定理，適合與線段的垂直平分線性質和判定安排在一起作為單元整體建構，包括角平分線、線段垂直平分線的尺規作圖等。這些內容整合在一起進行教學，有利于學生對這兩個“結構相似”的知識模塊的理解和掌握。同時，不要急于在學完全等三角形之后，立即安排它們的學習，而應讓學生在學習全等三角形后，通過練習得到更充分的鞏固。

4.等腰三角形

根據有些教材上的課時劃分，“等腰三角形第1課時”通常只是學習等腰三角形的性質（如“等邊對等角”“三線合一”），然后進行例、習題的講評，鞏固訓練等腰三角形的性質；第2課時再學習等腰三角形的判定方法（“等角對等邊”）。從單元整體建構的角度看，可以在第1 課時學習了“等邊對等角”之后，就學習“等角對等邊”，這樣基于“正、反”思考，符合認知規律和前后一致的研究思路，并且從學生構建輔助線的方法來看，也能讓學生感受到“和而不同”（作底邊上的高或頂角平分線都能解決，但作底邊上的中線并不適合“等角對等邊”的證明）。由于等腰三角形包含更特殊的等邊三角形、等腰直角三角形，教師也可在第2課時將等腰三角形進一步特殊化為等邊三角形和等腰直角三角形，然后依次展開研究。這個學習路徑與后續平行四邊形的學習路徑是一樣的，先學習平行四邊形的性質和判定，再依次學習性質比較特殊的矩形、菱形以及正方形。

二、關于單元整體教學的進一步思考

1.單元整體教學選編學材，要注重教材內容的重組與加工

我們知道，新課標頒布之后，各版本教材編寫組才能根據課標要求進一步改編出符合新課標理念的新版教材，在目前“新課標、舊教材”的現狀下，教師在開展單元整體教學時需要對教材內容進行重組。

這方面，全國著名特級教師李庾南圍繞初中數學課堂教學提出了“三學”，即學材再建構、學法三結合、學程重生成。其中“學材再建構”主要就是針對教材內容的重組、加工與轉化。基于教材、學材重組，是每個教師應該修煉的專業基本功。關于教材重組，我國著名數學教育家曹才翰先生就曾指出“下要保底，上不封頂”，即課標上雖然對有些教學內容進行了刪減或以“※”號標注作為選學內容，但是實際教學中，為了保持教學內容的邏輯嚴謹與知識體系的完整性，教師結合學情，可以進行必要的增補。比如，課標將平行線分線段成比例性質作為“基本事實”，只讓學生進行實驗確認，其實借助平行線等分線段定理（或者面積法）就可證明這個性質；再比如由圓內的相交弦性質到切割線性質（即圓冪定理）等，都可以基于它們的一致性或變式拓展，給學生進行梳理、補充。

2.單元整體教學起始課要以知識建構為主、習題訓練為輔

有些剛剛接觸、嘗試單元整體教學起始課的教師常常抱怨內容太多，感覺一節課來不及講這么多內容。這是一種現實，很多教師都會有這樣的困惑。實踐表明，單元整體教學起始課并不能面面俱到，需要聚焦主線，刪減旁枝末節，特別是例、習題的訓練用時要大大壓縮，甚至要將例、習題置后，在習題課中再進行講解。

以上文提到的全等三角形的判定單元教學為例，全課要以知識建構為主，需要組織學生從全等三角形的定義分析，減少一些條件來判定兩個三角形全等，當條件刪減到3 個時，至少要有一條邊相等，然后通過畫圖、舉反例的過程，將研究目光聚焦在有限的幾個判定方法上，驗證之后得出全等三角形判定的“基本事實”，再板書它們的文字語言、符號語言。該課教學內容很多，基本沒有時間進行例、習題的教學。

再比如，學習了三角形中位線性質定理之后，可以在后續習題課中安排梯形中位線性質的例、習題，還有“中點四邊形”的題組訓練，包括總結原四邊形對角線的數量與位置關系對“中點四邊形”形狀的影響，都是例、習題課的教學目標。

3.單元整體教學在知識體系建構之后要安排例、習題課

如上所述，有些單元教學起始課側重于新知生成、知識體系的構建，而鞏固新知還需要必要的例、習題訓練與講評。所以，單元整體教學起始課之后，要安排必要的例、習題課，這里題目的選取、改編都要精心設計，而不是按照教材上的例、習題的順序展開。

筆者的做法是以題組呈現的方式，進行必要的變式與拓展，可以使一些基本問題的教學價值得到較大的發揮。比如，等腰三角形單元整體教學之后，可以選取頂角為36°的等腰三角形，圍繞這個基本圖形設計系列問題；或者以等腰直角三角形為背景設計1～2 節專題課；再比如圍繞等邊三角形設計1～2 節專題課，這樣才能幫助學生對這些基本圖形有比較深刻的理解。