概率題錯解分類剖析

河南省滑縣第二高級中學 ?柴春燕

概率問題題型較多，解法靈活，不少同學在解題過程中因概念不清、忽視條件、考慮不周等原因導致思維混亂，最終導致解題失誤．本文就概率問題中的常見錯誤進行成因診斷，下面進行分類舉例說明：

類型一：“非等可能”與“等可能”的混淆

例1．擲兩枚骰子，求所得的點數之和為6的概率．

錯解：擲兩枚骰子出現的點數之和2，3，4，…，12共11種基本事件，所以概率為P=1/11．

剖析：以上11種基本事件不是等可能的，如點數和2只有（1，1），而點數之和為6有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）共5種．事實上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點數之和為6”的概率為P=5/36．

類型二：“互斥”與“對立”的混淆

例2．把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是

A．對立事件

B．不可能事件

C．互斥但不對立事件

D．以上均不對

錯誤答案：A

剖析：本題錯誤的原因在于把“互斥”與“對立”混同，要準確解答這類問題，必須搞清對立事件與互斥事件的聯系與區別，這二者的聯系與區別主要體現以以下三個方面：

（1）兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；

（2）互斥的概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；

（3）兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發生，即至多只能發生其中一個，但可以都不發生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發生．

事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時發生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發生，一個不發生，可能兩個都不發生，所以應選C．

類型三：“互斥”與“獨立”的混淆

例3．甲投籃命中率為0.8，乙投籃命中率為0.7，每人各投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？

錯解：設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件A+B．

∴P（A+B）=P（A）+P（B）=C²₃*0.82*0.2+C²₃*0.7^2*0.3=0.825．

分析：本題錯解的原因是把相互獨立的事件當成互斥事件來考慮．將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和．而題目的實際含義是在“甲恰好投中兩次”的同時“乙恰好投中兩次”，即兩人都恰好投中兩次為事件A·B，則P（A）·P（B）=C²₃*0.8²*0.2*C₂³*0.7²*0.3=0.169344。