極點極線視角下一類“定點、定線及定值”問題的解法與命制

張宏江 舒華瑛

[摘? 要] 圓錐曲線中的定點、定線及定值問題都有著深刻的高等數學背景——圓錐曲線的極點極線. 文章通過對圓錐曲線的極點極線的相關定義及性質的介紹與結論的推導，幫助師生從更高的觀點理解圓錐曲線中一類定點、定線及定值問題的本質，快速找到解題方向，拓寬試題命制思路，提升高中數學的圓錐曲線的教學效率.

[關鍵詞] 極點極線;調和共軛;定點;定線;定值

從近幾年關于圓錐曲線的高考題來看，對定點、定線及定值問題的考查頻次很高. 究其原因，筆者認為有以下兩點：

（1）教材中的圓錐曲線的定義就是定點、定線及定值問題：橢圓（或雙曲線）的第一定義是到定點（焦點）的距離的和（或差的絕對值）為定值的點的軌跡;圓錐曲線的第二定義是到定點的距離與到定直線（定點不在定直線上）的距離之比為定值的點的軌跡;二次曲線（圓、橢圓、雙曲線）的統一定義是到兩定點的連線的斜率之積為定值（需要補充若干個點）的點的軌跡.

（2）《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出：教師實施課程標準應理解與高中數學關系密切的高等數學的內容，能夠從更高的觀點理解高中數學知識的本質. 圓錐曲線中的定點、定線及定值問題都有著深刻的高等數學背景——圓錐曲線的極點極線. 極點與極線是高等幾何中一個基本且重要的概念，雖然在中學教材中沒有具體介紹，但以它為背景命制的高考題卻經常出現.

思考

圓錐曲線的極點極線是高等幾何中的基本且重要的概念，以它為背景命制的高考題經常出現. 高中解析幾何中的定點、定線及定值問題一般都是以極點極線為知識背景，掌握極點極線的相關概念與基本性質，可以從更高的觀點理解定點、定線與定值問題. 應用極點極線的相關結論不僅可以直接解決定點、定線與定值問題，還可以給常規法提供解題方向. 學生解決解析幾何運動與變化問題時，常用“動中求靜”“變中求定”的思想，圓錐曲線中的這個“定”往往可以通過極點極線獲得. 命制試題是教師面臨的一大難點，但若教師清楚與高中數學關系密切的高等數學知識，能夠從更高的觀點理解高中數學知識的本質，則命制試題能做到游刃有余.