物理強基測試中估算問題賞析

丁慶紅 靜 瑋 付永敢

(1.北京教育學院石景山分院 2.北京市懷柔區(qū)教科研中心 3.北京市房山區(qū)教師進修學校)

縱觀近些年的物理強基試題,出現(xiàn)了不少估算問題,這些問題往往以真實情境為素材,通過靈活開放的設(shè)問,綜合考查學生建立物理模型、推理論證等方面的能力和素養(yǎng).估算問題的特點是重“理”不重“數(shù)”,不追求數(shù)據(jù)的精確而強調(diào)方法的合理,經(jīng)常要利用物理概念、規(guī)律和常識對物理量的數(shù)量級進行快速計算.解決估算問題的關(guān)鍵有三,一是要善于抓住主要因素,建立物理模型;二是要善于挖掘隱含條件;三是要適當選取數(shù)據(jù),合理近似計算.如阿伏伽德羅常數(shù)可取NA＝6×1023mol-1,室溫可取T＝300K,空氣的摩爾質(zhì)量取M＝2.9×10-2kg等.

1 估算人體平均密度

2 估算西伯利亞猛犸象的解凍時間

A.23天 B.273天

C.2300天 D.以上都不對

為簡化計算,假設(shè)它們的平均密度相同,設(shè)為ρ;它們的比熱容相同,設(shè)為c;它們的表面和球心的溫差也相同,設(shè)為ΔT.則火雞的質(zhì)量,西伯利亞猛犸象的質(zhì)量

根據(jù)熱傳導(dǎo)定律,傳遞的熱量與溫度梯度(溫度差除以距離)、接觸面積和時間成正比,可知在時間t1內(nèi),傳遞給火雞的熱量為.而解凍火雞需要的熱量,則

解得解凍火雞需要的時間

同理,解凍西伯利亞猛犸象需要時間

把t1＝2 天,m＝5kg,M＝8t代入上式,解得t1≈273天.

3 估算常溫常壓下氣體分子單位時間內(nèi)的碰撞次數(shù)

A.1012B.109

C.106D.103

式中R＝8.31J·(mol·K)-1,稱為普適氣體恒量.最概然速率常在討論氣體分子速率分布等問題時使用,平均速率常在討論氣體分子碰撞、分子間距等問題時使用,而方均根速率常在討論氣體分子平均動能等問題時使用.在室溫下,這三種速率都在每秒數(shù)百米左右.

設(shè)氮氣的摩爾質(zhì)量為M,則每個氮氣分子的質(zhì)量為.結(jié)合克拉珀龍方程,可得單位體積內(nèi)的分子數(shù)

下面我們建立一個模型來求解單位時間內(nèi)氮氣分子的碰撞次數(shù).設(shè)某個氮氣分子以平均速率運動,取(由于是估算,也可以用上述另外兩種速率來替代).氮分子的有效截面積為πr2,則單位時間內(nèi)掃過的體積為,該體積內(nèi)的氣體分子將被氮分子碰撞,其分子數(shù)目就是氮分子碰撞的次數(shù),即

可見,選項B正確.

【拓展】在上述模型下,如果對氣體分子熱運動的一些數(shù)據(jù)有了解,即可快速求解.如在室溫下,上述氣體分子的三種速率都在每秒數(shù)百米左右,與槍彈的速度差不多.在標準狀態(tài)下,氣體的分子數(shù)密度為n0＝1025m-3.我們?nèi)?則每秒氮氣分子與其他空氣分子碰撞次數(shù)

4 一個關(guān)于艾里斑問題的估算

A.12km B.9km

C.6km D.3km

當兩物點在透鏡焦平面上所形成的兩個艾里斑中心的距離等于一個艾里斑的半徑時,通常認為兩個物點剛好能被人眼或光學儀器所分辨,這一條件稱為瑞利判據(jù).

如圖1所示,車兩燈間距l(xiāng)＝1.2 m,人眼睛的瞳孔直徑D＝4.0mm,由于光的衍射,車燈會形成一個艾里斑,艾里斑的角半徑為,即為人眼的最小分辨角.兩車燈能否被分辨,取決于兩燈對人眼的張角θ和人眼的最小分辨角θ0的關(guān)系,當θ≥θ0時能分辨.

圖1

根據(jù)瑞利判據(jù)θ＝θ0,有關(guān)系式.解得

代入數(shù)據(jù)得d＝6km.故選項C正確.

5 估算小球做減速圓周運動的時間

A.2s B.5s

C.20s D.100s

圖2

可見,小球做加速度越來越小的減速運動.由于加速度a與速度v的平方關(guān)聯(lián),對該方程進行精確求解是很困難的.

下面另辟蹊徑,用半定量的方法來進行估算.當小球的速度v0＝10m·s-1時,其加速度最大為

當小球剛要停下來時,其加速度最小,為amin＝μg＝0.1m·s-2.如果小球保持amax＝0.2m·s-2不變,則其停下來的時間為.如果小球保持amin＝0.1m·s-2不變,則其停下來的時間為

由于小球做加速度減小的減速運動,故其停下來的時間接近100s.選項D 正確.

代入數(shù)據(jù),解得t＝78.5s.

6 估算棒球的速度

A.7.0m·s-1

B.6.5m·s-1

C.5.7m·s-1

D.5.3m·s-1

考慮到實際,有三種可能情況.

一是彈性碰撞,即碰撞前后機械能守恒,這種情況下碰后球的速度最大.則,解得

二是完全非彈性碰撞,機械能損失最多,也就是碰撞后球的速度為v＝ωl,這種情況下球的速度最小,解得三是介于上述兩種情況之間,球獲得的速度也介于兩種情況之間.故選項A、B、C、D 均正確.

7 子彈擊中木板中部與邊緣

圖3

A.兩木板質(zhì)心上升高度相同

B.甲質(zhì)心高

C.乙質(zhì)心高

D.乙中木板將繞質(zhì)心勻速轉(zhuǎn)動

如圖3-乙所示,設(shè)木板長度為l,忽略桌腿外側(cè)木板的長度,以木板與左側(cè)桌腿接觸處為轉(zhuǎn)動點,當子彈m擊中板右端時,由角動量守恒得

再選擇右端點為轉(zhuǎn)動點,設(shè)木板左端所受支持力為F,由角動量定理得F·l·Δt＝I1ω,解得F·Δt＝Mlω.對子彈與木板組成的系統(tǒng),由動量定理有

即hb＞ha,所以選項C正確.

【拓展】1)上述解法中,我們還可以利用題設(shè)條件,m?M,則,顯然圖3-乙中木板上升的高度大.

2)作為選擇題,還有更簡潔的方法.假設(shè)子彈沒有擊穿木板,則子彈射入木板相當于完全非彈性碰撞.對木板和子彈組成的系統(tǒng),題中兩種情況子彈提供的沖量相同,但圖3-乙中從一端擊中時有桌腿額外提供的沖量,所以圖3-乙中木板質(zhì)心速度會更大.

8 一道關(guān)于子母球問題的估算

圖4

A.地軟時,h2≈h1

B.地軟時,h2?h1

C.地硬時,h2≈h1

D.地硬時,h2≈3h1

E.地硬時,h2≈9h1

若地軟,則小球落地后不反彈,速度為0,題中h1＝0.大球落地雖也不反彈,但小球以速度v0＝和大球碰撞后,將以同樣大小的速度反彈,則小球會上升到釋放時的位置,則h2＝h?h1.

從上面分析的問題背景來看,強基試題注重考查與學生生活實際的聯(lián)系,如估算人體平均密度和估算解凍時間;注重考查科學理論和技術(shù)中的典型問題,如關(guān)于艾里斑問題的估算,引導(dǎo)學生關(guān)注光學儀器的分辨率;注重考查中學物理的經(jīng)典問題,如子母球問題.強基試題旨在引導(dǎo)學生關(guān)注社會,關(guān)注技術(shù)與應(yīng)用,聯(lián)系生產(chǎn)生活實際,學會理性思考;通過真實復(fù)雜問題的解決,引導(dǎo)學生建立模型,利用物理概念、規(guī)律、常識和恰當方法,通過推理論證,得到可靠結(jié)論,發(fā)展核心素養(yǎng).

(完)