基于數(shù)學建模競賽的運籌學實踐教學方法*

董書琴 張玉臣 劉小虎 胡浩 劉鵬程

戰(zhàn)略支援部隊信息工程大學 鄭州 450004

0 引言

運籌學最早起源于“二戰(zhàn)”時期[1]，是一門實踐性很強的數(shù)學應用類課程，作為管理類本科生的必修課之一，在整個管理類學生人才培養(yǎng)體系中占據(jù)重要地位，能有效培養(yǎng)學生統(tǒng)籌全局、科學決策的意識，鍛煉綜合運用運籌學模型解決實際問題的能力，為將來步入工作崗位打下堅實的基礎(chǔ)。然而，由于課程內(nèi)容量大、授課課時少、教學方式單一，當前運籌學課程在教學過程中仍存在學生學習興趣不高、動手能力不強、創(chuàng)新意識偏弱等問題，亟待對運籌學教學方法進行改革創(chuàng)新，突出實踐教學特色，豐富實踐教學案例，增強學生的參與度和獲得感，從而有效提高學生學習興趣，不斷提升課程教學效果。

近年來，眾多高校教師對運籌學課程教學改革進行了廣泛研究，系統(tǒng)梳理了運籌學知識體系，并通過合理設(shè)計課程案例激發(fā)學生學習興趣，力求提升課程教學效果[2]；不斷更新運籌學課程教育教學理念，靈活運用課堂講授、課堂討論、案例教學、實驗教學等不同方式對課程教學改革進行探索[3]；從管理學視角，對運籌學教學重點、教學內(nèi)容、教學方法和考核方式提出了若干改革建議，指出案例教學法在激發(fā)學生學習熱情方面具有積極作用[4]；通過對管理類學科內(nèi)涵的分析，針對不同類型學生的特點，提出了管理運籌學課程的教學改革建議[5]；分析了管理運籌學的學科特點，指出將數(shù)學建模思想融入運籌學教學環(huán)節(jié)對于提升學生實踐能力具有重要意義[6]。

綜上可知，將案例教學法和數(shù)學建模思想融入運籌學實踐教學過程，對于增強運籌學課程教學效果、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力具有積極的促進作用，但是如何將數(shù)學建模競賽真題與運籌學實踐教學結(jié)合，科學設(shè)計課程實踐教學模式及案例仍需進一步研究。

為此，本文以培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力為導向，在深入剖析運籌學實踐教學現(xiàn)實問題的基礎(chǔ)上，突出數(shù)學建模競賽的牽引作用，對運籌學實踐教學模式進行改革創(chuàng)新，闡明從運籌學知識到數(shù)學建模競賽實戰(zhàn)的正向應用過程，培養(yǎng)學生利用所學知識解決實際問題的能力，進一步夯實學生對課程知識的理解；基于建模競賽真題給出運籌學實踐案例設(shè)計思路與實踐教學方案，探索從競賽真題到運籌學實踐案例的反向提煉過程，以便在運籌學課程實踐教學中不斷激發(fā)學生創(chuàng)新活力，并在一定程度上提升學生實踐創(chuàng)新能力。通過運籌學理論知識正向應用和實踐案例反向提煉兩個過程，使學生真正做到學有所思、學有所得、學有所用，切實提升運籌學課程教學質(zhì)量。

1 運籌學實踐教學現(xiàn)實問題

作為一門數(shù)學應用類課程，運籌學既有很強的理論基礎(chǔ)，又可借助Matlab、Lingo、WinQSB 等計算機軟件實現(xiàn)具體問題模型的求解，主要用于解決有限資源條件下的優(yōu)化決策問題，其基礎(chǔ)理論包括規(guī)劃論、存儲論、排隊論、對策論、決策論以及圖與網(wǎng)絡分析等。運籌學課程教學必須堅持理論與實踐并重，使學生不僅明白具體理論的含義，還能綜合運用所學運籌學知識解決現(xiàn)實生活中遇到的實際問題。然而，受限于課時，傳統(tǒng)課堂教學中對運籌學實踐教學內(nèi)容的重視度還遠遠不夠。

1.1 忽視實踐教學環(huán)節(jié)

運籌學是一門理論體系龐大的課程，傳統(tǒng)教學過程中，為了在有限課時范圍內(nèi)，讓學生盡可能多地掌握運籌學基礎(chǔ)知識，教師多以理論講授為主，花費大量的時間進行運籌學基礎(chǔ)理論和常用模型的講解，并通過簡單的課堂案例和課后習題加深學生對理論知識的理解。這種教學方法雖能使學生具備較為豐厚的運籌學理論基礎(chǔ)，并初步具備一定的運籌學思維，但在很大程度上忽視了運籌學實踐教學的重要性，最終學生只掌握了基本的運籌學理論，對運籌學知識的現(xiàn)實應用了解不深，缺乏運用所學知識解決實際問題的能力，無法有效應對今后工作中遇到的管理決策等現(xiàn)實問題。

1.2 實踐教學案例單一

隨著教學改革的不斷深入，高校教師愈發(fā)意識到運籌學實踐教學的重要性，并逐步在課堂教學過程中引入實踐環(huán)節(jié)，旨在有效提高學生動手能力，使學生通過對運籌學理論的活學活用，解決現(xiàn)實管理中遇到的問題。

然而，出于提升學生理論認識的目的，現(xiàn)有大部分實踐教學案例多以教材例題和習題為主，通過引導學生利用計算機軟件進行具體模型的求解，實現(xiàn)對學生動手實踐能力的培養(yǎng)。但是，教材中的大部分例題和習題通常解題思路比較固定，缺乏思維的啟發(fā)性，基于教材例題和習題的實踐教學案例不利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

1.3 實踐教學考核力度不足

目前，大多數(shù)高校在運籌學考核時，通常按照平時作業(yè)30%和期末考試70%的方式來計算學生的課程成績[7]。這種考核方式以評價學生理論知識掌握程度為主，而對于實踐環(huán)節(jié)的考核通常僅占平時作業(yè)30%中的一小部分，整體考核力度較弱，致使學生在日常學習過程中對實踐教學環(huán)節(jié)重視度不夠，對于具體的實踐類作業(yè)通常僅是應付了事，缺乏積極主動的深入思考。學生對實踐教學的不重視，也會在一定程度上消磨教師實踐教學的熱情，最終使運籌學實踐教學停留在表面，無法達到培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的預期效果。

2 基于競賽牽引的運籌學實踐教學模式探索

興趣是最好的老師，為了提升運籌學實踐教學效果，必須不斷革新運籌學實踐教學模式，有效激發(fā)學生的學習興趣，使學生樂于學、善于學，從而主動運用運籌學模型去解決現(xiàn)實中的問題。作為一種競技類比賽，全國大學生數(shù)學建模競賽有效融合了實際問題需求、課程教學理論和科學研究思想，有利于培養(yǎng)學生理論聯(lián)系實際的能力[8]，逐漸成為學生建模思維和創(chuàng)新能力的練兵場與磨刀石，受到越來越多高校師生的關(guān)注。與此同時，數(shù)學建模競賽還可有效激發(fā)學生創(chuàng)新精神和開拓意識，為運籌學實踐教學改革樹立了良好的導向。以建模競賽為牽引，對運籌學實踐教學模式進行改革探索，實現(xiàn)對運籌學理論的正向應用，有助于解決運籌學實踐教學中存在的現(xiàn)實問題。

2.1 建立競賽激勵機制，激發(fā)學生參賽動力

全國大學生數(shù)學建模競賽通常要求參賽人員以三人為一小組的形式，在三天時間內(nèi)完成模型的建立與求解，并撰寫一篇高質(zhì)量的建模論文。競賽時間緊、任務重，容易使學生產(chǎn)生畏難心理，而不敢輕易嘗試。可以結(jié)合運籌學實踐教學情況和學生人才培養(yǎng)方案，建立課內(nèi)與課外競賽激勵機制，通過增加獎勵學分的形式，激發(fā)學生的參賽動力，積極創(chuàng)造運籌學理論知識的實踐運用平臺。

2.2 梳理理論知識體系，促進實踐教學落地

俗話說教學相長，教與學是不可分割的兩個部分，只有教師善于教，學生才能樂于學。脫離教師的指導，學生的學習就會變成無本之木、無源之水，建模競賽成績的獲得同樣離不開教師的指導。高校教師可以以建模競賽為牽引，通過分析近年來的全國大學生數(shù)學建模競賽真題，厘清運籌學實踐考查重點，進而對運籌學理論知識進行系統(tǒng)性梳理，使學生更加清楚排隊論、圖論、對策論等理論知識的內(nèi)涵和外延，為學生在競賽中靈活運用相關(guān)知識解決實際問題奠定堅實基礎(chǔ)，更好地促進實踐教學落地落實。

2.3 加大實踐教學比重，夯實學生實戰(zhàn)能力

圍繞數(shù)學建模競賽，加大師資日常培養(yǎng)力度，不斷提高教師研賽備賽熱情，深化實踐教學內(nèi)容和典型案例，充分利用課上課下時間，以課堂案例、綜合實驗的方式，加強學生對典型建模案例的實踐訓練，使學生熟練掌握綜合運用所學知識和計算機軟件解決實際問題的方法和技巧。

此外，還可以結(jié)合運籌學實踐教學安排，在賽前對參賽學生進行建模強化訓練，進一步增強學生的建模實戰(zhàn)能力，從而讓學生更有信心在競賽中獲得佳績。

2.4 拓展實踐教學形式，完善實踐教學模式

實踐出真知，學生創(chuàng)新能力的提高離不開形式多樣的實踐教學內(nèi)容和形式新穎的實踐教學模式，可融合運用課堂案例、綜合實驗和建模競賽開展運籌學實踐教學。

首先，通過課堂案例夯實學生運籌學理論基礎(chǔ)，并引導學生利用計算機軟件對案例進行求解；

其次，以典型建模問題為抓手，通過設(shè)置綜合實驗的方式，鍛煉學生利用所學知識解決實際問題的能力；

最后，通過激勵學生參與數(shù)學建模競賽，將競賽成績作為學生實踐教學考核的有力補充，進一步提升學生實踐能力和創(chuàng)新能力。

通過上述過程，探索建立“課堂案例厲兵秣馬，綜合實驗小試牛刀，建模競賽實戰(zhàn)練兵”的運籌學實踐教學模式。通過教師與學生的主動參與和積極作為，逐步將數(shù)學建模競賽打造成運籌學理論的重要實踐教學平臺。

3 依托建模競賽真題的運籌學實踐案例設(shè)計

在結(jié)合數(shù)學建模競賽探索運籌學理論正向應用過程的基礎(chǔ)上，圍繞數(shù)學建模競賽真題實現(xiàn)對運籌學實踐案例的反向提煉，有效地豐富運籌學實踐教學案例，為培養(yǎng)和提升學生實踐創(chuàng)新能力提供案例支撐。

3.1 實踐案例設(shè)計思路

全國大學生數(shù)學建模競賽是對學生綜合能力素質(zhì)的考驗，其賽題通常是在廣泛征集各行各業(yè)現(xiàn)實問題的基礎(chǔ)上，經(jīng)組委會專家篩選提煉而成，不僅要求學生具備較為深厚的數(shù)學和運籌學理論知識，還需要學生擁有寬廣的知識面，能在讀懂題目的基礎(chǔ)上，建立問題的數(shù)學模型，進而采用MATLAB、LINGO 等專業(yè)軟件對模型進行求解。將數(shù)學建模競賽真題直接應用于運籌學實踐教學，相對來說難度較大，無法使所有學生都參與進去，大大降低了建模競賽真題的應用價值。

需要以全國大學生數(shù)學建模競賽歷年真題為基礎(chǔ)，對照運籌學知識體系，通過縮減數(shù)據(jù)、減少變量和增加約束等方法對題目進行適當簡化，并根據(jù)學生的能力水平對案例運用模式進行層次化設(shè)置，以增大不同層次學生的參與感，使所有學生都能在運籌學實踐環(huán)節(jié)得到鍛煉，從而進一步激發(fā)學生的學習熱情，并在實踐教學過程中不斷提升學生的創(chuàng)新能力?；诮８傎愓骖}的運籌學實踐案例設(shè)計與應用思路如圖1 所示。

圖1 基于建模競賽真題的運籌學實踐案例設(shè)計與應用思路

3.2 案例設(shè)計示例

在上述設(shè)計思路的基礎(chǔ)上，以2021 年高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽C 題[9]為例，對運籌學實踐案例進行設(shè)計，并簡要說明基于所提案例的實踐教學方案。C 題是一道綜合運用規(guī)劃論、決策論和啟發(fā)式方法進行求解的典型賽題，主要分四個問題進行考核，涉及運籌學中的線性規(guī)劃、目標規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、運輸問題、決策分析等多個理論。在案例設(shè)計過程中，既可針對單個理論提煉實踐案例，也可綜合多個理論對實踐案例進行設(shè)計。

對于問題一中的原材料供應商優(yōu)選問題，可從中提煉出決策分析理論的實踐案例，讓學生依據(jù)402 家原材料供應商的歷史供貨情況，通過設(shè)置評價指標，利用層次分析法對供應商的供貨能力進行排序，并篩選出最重要的50 家原材料供應商。該案例相對來說比較容易上手，旨在培養(yǎng)學生利用所學知識解決實際問題的能力，對學生創(chuàng)新思維的啟發(fā)與鍛煉主要體現(xiàn)在評價指標的設(shè)置方面。

對于問題二中原材料訂購方案和轉(zhuǎn)運方案制定問題，可將決策變量設(shè)為是否選擇某個原材料供應商或轉(zhuǎn)運商，從中提煉出兩個0 ～1 整數(shù)規(guī)劃實踐案例，讓學生在給定原材料供應商和轉(zhuǎn)運商的基礎(chǔ)上，依次制定最經(jīng)濟的原材料訂購方案及損耗最少的轉(zhuǎn)運方案。兩個案例既可獨立設(shè)置，降低每個實踐案例求解的復雜度，又可相互關(guān)聯(lián)、層層遞進，實現(xiàn)對學生邏輯思維的鍛煉，從而進一步深化學生對整數(shù)規(guī)劃理論的理解。

對于問題三中綜合考慮轉(zhuǎn)運成本、倉儲成本和轉(zhuǎn)運損耗制定最優(yōu)原材料訂購方案和轉(zhuǎn)運方案的問題，可從中提煉出針對單一成本因素的線性規(guī)劃實踐案例，也可從中提煉出一個綜合多因素的目標規(guī)劃實踐案例，多角度全方位提升學生運籌學知識運用能力及動手實踐能力。

對于問題四中產(chǎn)能提升及其對應的最優(yōu)原材料訂購方案和轉(zhuǎn)運方案制定問題，可將產(chǎn)能提升和最優(yōu)方案制定看作最優(yōu)化決策過程中的不同階段，從中提煉出一個動態(tài)規(guī)劃實踐案例，并發(fā)散學生思維，引導學生利用啟發(fā)式方法進行問題的求解，從而在一定程度上培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。

在上述實踐案例的基礎(chǔ)上，可針對學生的能力水平制定層次化實踐教學方案。對理解能力和動手能力偏弱的學生，可讓其僅進行一兩個簡單實踐案例的求解，以加深對理論知識的理解，如通過對問題二相關(guān)案例中最經(jīng)濟原材料訂購方案的求解，更好地掌握整數(shù)規(guī)劃模型；對理解能力好、動手能力強的學生，可依托問題一、二、三相關(guān)的多個實踐案例對其實踐能力進行強化訓練，并嘗試利用啟發(fā)式方法對實踐案例的求解過程進行優(yōu)化，使其初步具備創(chuàng)新意識；對于綜合能力強、創(chuàng)新意識高的學生，可綜合運用問題一至四相關(guān)實踐案例，引導學生發(fā)散思維，對問題進行創(chuàng)造性求解，進一步提高創(chuàng)新能力。

4 結(jié)束語

將建模思想融入運籌學實踐教學環(huán)節(jié)，并圍繞數(shù)學建模競賽，探索運籌學實踐教學模式，設(shè)計運籌學實踐教學案例，對激發(fā)學生創(chuàng)新意識、培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力具有重要的促進作用。同時，依托數(shù)學建模競賽真題的實踐案例設(shè)計思路對豐富運籌學實踐教學案例、改革運籌學實踐教學方法具有重要的借鑒意義，還需持續(xù)進行研究。