模型為本 意識為標 普適為徑

羅建華

【編者按】數學為人們提供了一種描述與交流現實世界的表達方式。學會用數學的語言表達世界，是數學核心素養的重要內涵。作為數學語言的重要表現之一，《義務教育數學課程標準（2022年版）》將原來的“模型思想”分為“模型意識”與“模型觀念”。小學生具備較好的模型意識，不但有助于學生應用意識的培養，還能夠為其后續模型觀念的確立打下堅實的經驗基礎。數學模型存在于數學學科的方方面面，發揮著不可替代的作用。教師如何引導學生形成對數學模型的普適性初步感悟？如何培養學生以數學的概念或方法解釋現實問題？本期話題就學生的模型意識培養展開探討。

【摘 要】模型意識是指對數學模型普適性的初步感悟。如何培養小學生的模型意識？本文縱向對比了不同學段有關模型思想的核心素養表現：小學階段的模型意識、初中階段的模型觀念、高中階段的數學建模；橫向對比了模型意識和應用意識，梳理相關文獻，進行理路研究。筆者建議在小學階段對數學模型采用廣義的解釋，即數學中的概念、公式等，都是從生活中抽象出來的數學模型，它可以應用到現實生活中，幫助我們解決同一類的問題，是數學應用的基本途徑。結合小學生的年齡特點，本文提出了“模型為本、意識為標、普適為徑”的模型意識基本培養思路，并呈現了部分實踐探索形成的案例。

【關鍵詞】模型意識 應用意識 數學模型 普適性

小學數學中有這樣一道題目：水池有一根進水管和一根出水管，打開進水管6小時可將空池注滿，打開出水管9小時可以放完滿池的水。如果同時打開進水管和出水管，多少小時可以把空池注滿？這道題本是培養學生模型意識的經典題目，卻有不少教師覺得難教，學生也覺得難以理解，甚至有人對這道題設計的意義提出了質疑，這就是數學教學中模型意識缺失所帶來的典型后果。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）中將原“模型思想”分解為模型意識和模型觀念，讓模型思想的內涵更有層次感，也更具有可操作性。模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟。但這個概念對一線教師來說，理解上有些難度，不知道如何去落實。造成上述不利局面的原因：一是對數學模型的認識不清晰，總覺得這是一個很高大上的概念；二是對“初步感悟”所表達的意思理解不明朗，不知道這種“意識”該如何落地。要解決這種困境，就有必要對模型意識這個概念進行詳細的解讀，進而提煉出培養模型意識的思路。

一、模型為本

根據《課程標準》中對模型意識的解釋，要理解此概念，首先一定要理解數學模型。關于數學模型的解釋，一般分為狹義和廣義兩種。狹義地講，數學模型是指反映了特定問題或特定事物系統的數學結構。[1]廣義地講，數學模型就是為解決現實生活中的問題而建立的數學概念、定義、公式、性質、定理、規律、法則、圖表、圖形、數量關系式等。[2]狹義的理解更為精準，主要是解釋了數學建模中的“模”。而廣義的理解缺乏一定的技術性含義，是一種比較寬泛的理解，它把數學中的各種概念、理論和公式等都稱為數學模型，甚至數學都被說成是一門關于數學模型的學科。[3]可見數學模型在數學中的重要地位。

在小學階段，應該如何理解數學模型呢？對比小學、初中、高中三個學段關于模型思想的核心素養表現——小學階段的模型意識、初中階段的模型觀念、高中階段的數學建模，或許能給我們一些啟發。

從《課程標準》的解釋來看，小學階段的模型意識側重于對數學模型普適性的“初步感悟”，初中階段的模型觀念側重于對運用數學模型解決問題“有清晰的認識”，而到了高中階段，則要求用數學方法構建模型解決問題。整個體系遵循了從“感悟→認識→應用”逐步升級的認知規律。

對模型意識的理解偏差，很大程度上是混淆了數學模型和數學建模這兩個概念。細讀《課程標準》會發現，在小學階段并沒有出現數學建模的概念，初中開始要求“初步感知數學建模的基本過程”，高中則要求具體了解數學建模的具體過程。從這個意義上來說，小學階段的模型意識尚未上升到“建模”層次，而僅僅停留在對“模型”的理解階段。由此可見，數學建模是培養學生模型意識與模型觀念的高階目標，模型觀念是初步感知數學建模的基本過程，模型意識則是要讓學生知道數學模型可以用來解決一類問題。因此，在小學階段我們更愿意把數學模型做廣義的理解，即數學中的概念、公式等，都是從生活中抽象出來的數學模型，它可以應用到生活中，幫助我們解決同一類的問題，是數學應用的基本途徑。這樣的理解更有利于模型意識的推廣，幫助學生建立模型觀念，為提升學生的數學建模能力打下扎實的基礎。

例如，我們來分析“1”這個數字。生活中其實是沒有1的，只有1個人、1個蘋果、1支鉛筆等。數字1是從這些數量為1的事物中抽象出來的符號，它還可以表示1輛車、1個班、1個地球等。因此，哪怕是最簡單的數字1，都可以看作是一個數學模型。

二、意識為標

如何來把握模型意識這個概念呢？

對比《課程標準》中有關模型意識和應用意識的解釋，會發現兩者有很多的相同之處，如都出現了“現實世界”“解釋”“跨學科”“解決”“問題”等詞語。從兩者的內涵上分析，應用意識是有意識地利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象與規律，解決現實世界中的問題。而在模型意識中，廣義視角下的數學模型將數學的概念、原理和方法等包含在內；解釋現實世界中的現象和規律，解決現實世界中的問題，體現出了數學模型的普適性。可以看出，兩者的內涵從本質上講是緊密相關的。

再從兩者的外延上加以分析。一是模型意識要求學生能夠認識到現實世界中大多數的問題都與數學有關，要有意識地用數學的概念和方法進行解釋；應用意識是要求學生能夠感悟現實生活中蘊含著大量的與數量和圖形有關的問題，能用數學的方法進行解決。從以上解釋可以看出，兩者都是在建立數學和生活的聯系，要應用數學去解釋或解決現實世界中的問題。二是模型意識要求學生知道數學模型可以解決一類問題，是數學應用的基本途徑；而應用意識要求學生初步了解數學作為一種通用的科學語言在其他學科中的應用。可以解決一類問題，也就是在這類問題中可以通用，因此兩者都在強調數學的通用、應用的重要性，只是表述上有略微的不同。

從以上分析可以看出，模型意識與應用意識在內涵和外延上都有很多相似之處，或者我們也可以這樣來理解——模型意識是培養應用意識的主要路徑。在小學階段，不能對學生的模型意識有過高的要求，它只是數學建模的初級階段。所以，我們在教學中要側重于對“意識”的把握，應以“意識”為目標，引導學生產生和鞏固這樣的意識：數學中的概念、公式等，都是從生活中抽象出來的數學模型，它可以應用到生活中，幫助我們解決同一類的問題。而這個度，則是達到“初步感悟”即可。

三、普適為徑

《課程標準》對于模型意識的解釋中還有三個字非常重要，那就是“普適性”。普適性是指某一事物（特別是觀念、制度和規律等）比較普遍地適用于同類對象或事物的性質。普適性是很多理論研究者一生所追求的目標，希望能將某個理論推而廣之，從一個局部性的知識升級為具有普遍性的知識。[4]換而言之，模型意識的落地，就是要把數學中學到的東西，應用到生活中去，解決同一類的問題。就如我們解決一個數學問題，便不僅僅是會做這一道題，而是要從中提煉出方法，能解決生活中這一類的問題，這就是數學模型的普適性。要做到“普適為徑”，需要培養和強化師生的幾種意識和能力。

一是抽象。數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學的研究對象，就是事物中的數與形以及彼此之間的關系，這也是學生學習數學時應主要關注的兩個方面。只有抽象出了結構，才有可能建立模型。因此在教學中，我們要善于創設盡量真實的情境，更要善于抽象出數和形，集中學生的注意力，去解決數學問題。例如，我們在教學生認識“1”的時候，就要先給他們呈現多種數量為1的事物，引導學生發現這些事物的相同點是數量都為1，從而抽象出“1”這個符號；然后再來學習讀1、寫1，并請學生用1來說一句話；最后，學生回家還要找出生活中數量為1的事物，跟家長交流，充分體會1的應用價值。再如，在認識長方形和正方形的特征時，我們就要呈現各種各樣的圖形，并從中找出長方形和正方形，再提煉找的依據是什么，這些依據就是長方形和正方形的特征。根據抽象出來的共同點，學生就能建立起長方形和正方形的模型，也為他們在以后的學習和生活中判斷一個圖形是否是長方形和正方形，甚至是制造一個長方形和正方形提供可靠的支撐。

二是對比。數學模型的價值在于，它能解決一類問題，而不是一個問題。當抽象出了一個模型后，要培養學生對比的意識和能力，找到同類事物中的對應元素，才能讓數學模型精準地發揮作用。例如，我們在教學“鴿巢原理”時，先通過研究鴿子和巢的數量，以及可能出現的結果，抽象出鴿巢原理的模型；然后提供典型的或變式的事例作為練習，用來對比找出其中的“鴿”和“巢”，培養學生的對比意識和能力，從而實現模型意識的落地（如下表所示）。

表1? ?“鴿巢問題”的練習設計表格

[練習 鴿 巢 5個人坐4把椅子，總有一把椅子上至少坐2人 5個人 4把椅子 一副牌，取出大小王，還剩52張牌，任意抽取5張，至少有2張是同花色的 5張牌 4種花色 隨意找13位教師，他們中至少有2個人的屬相相同 13位教師 12種生肖 醫院的3樓有3位醫生，樓道里有5位病人在候診，至少有2位病人會找同一位醫生看病 5位病人 3位醫生 ]

本文開篇提到的同時打開進水管和出水管的數學模型，可以用來解決生活中許多同類型的問題。最典型的就是自來水廠的蓄水池，一邊要出水，供應居民生活所需，一邊要給蓄水池補充水，保持蓄水池的水量，而補充水量的大小要根據供水量的大小來設定。還有同樣用來蓄水的水庫，當下大雨的時候，水庫就要泄洪，否則就會沖垮堤壩。一邊在下雨，就是進水，一邊在泄洪，就是在出水，而泄洪的水量也是要根據降雨量的大小來計算。再延伸一下，我們去參觀一個室內展覽，隨時都有人進出。當參觀的人數很多時，也需要用到這個模型，要統計人們在里面參觀的平均時間，調查室內最大能容納多少人，再來計算單位時間可以放進去多少人，這樣就可以讓我們更加合理地利用資源，實現資源利用效益的最大化。當學生具備了這種對比的意識和能力，數學模型的普適性才能更好體現。

三是推廣。推廣其實就是應用，在這里之所以用推廣一詞，筆者是想凸顯數學模型的“普適性”。首先，教師要有推廣的意識，不管教什么內容，都要首先想一想它可以如何推廣，這是推動數學發展的動力之一，因為人們總是愿意花時間花精力去學習有用的東西。例如，學生第一次認識加法算式1+1＝2，我們先讓學生充分理解這個算式各部分的意義，掌握讀法與寫法，然后就要進行推廣。我們可以讓學生想一想、說一說：生活中還有哪些問題也可以用1+1＝2來解決？學生就會說：我有1個爸爸，1個媽媽，一共有幾個大人？我有1支鉛筆，媽媽又給我買了1支，現在有幾支鉛筆？我昨天在學校認識了1個好朋友，今天又認識了1個好朋友，我現在有幾個好朋友……然后，我們便可以總結：這么多的問題，數學中一個算式就解決了，這個算式是什么？是1+1＝2。相信這個時候，在學生心中，1+1＝2就不再是一個冷冰冰的算式。它是一把神奇的鑰匙，可以打開很多扇門。當推廣意識作為一種自覺性傳遞給學生后，他們對數學的價值有了更加篤定的理解，模型意識才算是真正落地。

其次，教師要有推廣的能力，要善于分解結構，根據關鍵要素去尋找同類事物，才能進行推廣。開篇的那道題，從數學的角度出發，解決這道題的關鍵是要理解速度差，也就是把水池的蓄水量看作單位“1”，則進水的速度為[1/6]，出水的速度為[1/9]，速度差為[1/6]－[1/9]=[1/18]，然后用1÷[1/18]=18（時）。所以，理解速度差是解決這個問題的關鍵。根據速度差就能聯想到追及問題，追及問題的基本模型是路程差÷速度差=追及時間。我們可以把“進水”理解為一個跑得快的人，“出水”理解為一個跑得慢的人，他們之間的路程差就是“1”，兩者的速度差什么時候把這個“1”填滿了，水池就什么時候被注滿。也就是說，同時打開進水管和出水管把水池注滿的問題，其實是追及問題模型的一個應用。這樣一來，就非常形象生動了。所以，講完出水管進水管的問題之后，我們可以推廣到這樣的題目：小明和小紅早上上學走同一條路，兩家相距400米，小明上學要經過小紅家，小明的速度是100米/分，小紅的速度是60米/分。有一天他們同時出發，小明多少分鐘能追上小紅？也可以推廣到這樣的題目：哥哥和弟弟一起做口算題，哥哥每分鐘可以做30道題，弟弟每分鐘可以做25道題，為了公平，哥哥先讓弟弟做了20道題，哥哥幾分鐘可以和弟弟做的題一樣多？這種推廣能力，一定是建立在對這個數學模型深入分析的基礎上，找到關鍵要素，方能推而廣之。

綜上所述，要培養學生的模型意識，數學教師應該有這樣三個基本的認識：一是模型為本，認識到數學中的概念、公式等，都是從生活中抽象出來的數學模型。二是意識為標，數學模型可以應用到生活中，幫助我們解決同一類的問題，是數學應用的基本途徑。三是普適為徑，要在教學中去強化師生的三種意識和能力——抽象、對比、推廣。

（作者單位：重慶兩江新區星湖學校）

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參考文獻：

［1］張曉剛，康慧.小學數學教學中建構數學模型的問題與對策［J］.教育理論與實踐，2018，38（08）：57-58.

［2］王永春.小學數學與數學思想方法［M］.上海：華東師范大學出版社，2014.

［3］路衛華.數學模型與數學結構在不同語境下的含義辨析［J］.科學技術哲學研究，2019，36（04）：65-69.

［4］ 張濤甫，徐亦舒.尋求對話：在輿論研究的特殊性與普適性之間［J］.新聞大學，2017（05）：23-28，146.